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理解 Mini-batch 梯度下降 (Understanding Mini-batch Gradient Descent)

在上周視頻中，你知道了如何利用mini-batch梯度下降法來開始處理訓練集和開始梯度下降，即使你只處理了部分訓練集，即使你是第一次處理，本視頻中，我們將進一步學習如何執行梯度下降法，更好地理解其作用和原理。

使用batch梯度下降法時，每次迭代你都需要歷遍整個訓練集，可以預期每次迭代成本都會下降，所以如果成本函數 $J$ 是迭代次數的一個函數，它應該會隨著每次迭代而減少，如果 $J$ 在某次迭代中增加了，那肯定出了問題，也許你的學習率太大。

使用mini-batch梯度下降法，如果你作出成本函數在整個過程中的圖，則并不是每次迭代都是下降的，特別是在每次迭代中，你要處理的是 $X^{\{t\}}$ 和 $Y^{\{t\}}$ ，如果要作出成本函數 $J^{\{t\}}$ 的圖，而 $J^{\{t\}}$ 只和 $X^{\{t\}}$ ， $Y^{\{t\}}$ 有關，也就是每次迭代下你都在訓練不同的樣本集或者說訓練不同的mini-batch，如果你要作出成本函數 $J$ 的圖，你很可能會看到這樣的結果，走向朝下，但有更多的噪聲，所以如果你作出 $J^{\{t\}}$ 的圖，因為在訓練mini-batch梯度下降法時，會經過多代，你可能會看到這樣的曲線。沒有每次迭代都下降是不要緊的，但走勢應該向下，噪聲產生的原因在于也許 $X^{\{1\}}$ 和 $Y^{\{1\}}$ 是比較容易計算的mini-batch，因此成本會低一些。不過也許出于偶然， $X^{\{2\}}$ 和 $Y^{\{2\}}$ 是比較難運算的mini-batch，或許你需要一些殘缺的樣本，這樣一來，成本會更高一些，所以才會出現這些擺動，因為你是在運行mini-batch梯度下降法作出成本函數圖。

你需要決定的變量之一是mini-batch的大小， $m$ 就是訓練集的大小，極端情況下，如果mini-batch的大小等于 $m$ ，其實就是batch梯度下降法，在這種極端情況下，你就有了mini-batch $X^{\{1\}}$ 和 $Y^{\{1\}}$ ，并且該mini-batch等于整個訓練集，所以把mini-batch大小設為 $m$ 可以得到batch梯度下降法。

另一個極端情況，假設mini-batch大小為1，就有了新的算法，叫做隨機梯度下降法，每個樣本都是獨立的mini-batch，當你看第一個mini-batch，也就是 $X^{\{1\}}$ 和 $Y^{\{1\}}$ ，如果mini-batch大小為1，它就是你的第一個訓練樣本，這就是你的第一個訓練樣本。接著再看第二個mini-batch，也就是第二個訓練樣本，采取梯度下降步驟，然后是第三個訓練樣本，以此類推，一次只處理一個。

看在兩種極端下成本函數的優化情況，如果這是你想要最小化的成本函數的輪廓，最小值在那里，batch梯度下降法從某處開始，相對噪聲低些，幅度也大一些，你可以繼續找最小值。

相反，在隨機梯度下降法中，從某一點開始，我們重新選取一個起始點，每次迭代，你只對一個樣本進行梯度下降，大部分時候你向著全局最小值靠近，有時候你會遠離最小值，因為那個樣本恰好給你指的方向不對，因此隨機梯度下降法是有很多噪聲的，平均來看，它最終會靠近最小值，不過有時候也會方向錯誤，因為隨機梯度下降法永遠不會收斂，而是會一直在最小值附近波動，但它并不會在達到最小值并停留在此。

實際上你選擇的mini-batch大小在二者之間，大小在1和 $m$ 之間，而1太小了， $m$ 太大了，原因在于如果使用batch梯度下降法，mini-batch的大小為 $m$ ，每個迭代需要處理大量訓練樣本，該算法的主要弊端在于特別是在訓練樣本數量巨大的時候，單次迭代耗時太長。如果訓練樣本不大，batch梯度下降法運行地很好。

相反，如果使用隨機梯度下降法，如果你只要處理一個樣本，那這個方法很好，這樣做沒有問題，通過減小學習率，噪聲會被改善或有所減小，但隨機梯度下降法的一大缺點是，你會失去所有向量化帶給你的加速，因為一次性只處理了一個訓練樣本，這樣效率過于低下，所以實踐中最好選擇不大不小的mini-batch尺寸，實際上學習率達到最快。你會發現兩個好處，一方面，你得到了大量向量化，上個視頻中我們用過的例子中，如果mini-batch大小為1000個樣本，你就可以對1000個樣本向量化，比你一次性處理多個樣本快得多。另一方面，你不需要等待整個訓練集被處理完就可以開始進行后續工作，再用一下上個視頻的數字，每次訓練集允許我們采取5000個梯度下降步驟，所以實際上一些位于中間的mini-batch大小效果最好。

用mini-batch梯度下降法，我們從這里開始，一次迭代這樣做，兩次，三次，四次，它不會總朝向最小值靠近，但它比隨機梯度下降要更持續地靠近最小值的方向，它也不一定在很小的范圍內收斂或者波動，如果出現這個問題，可以慢慢減少學習率，我們在下個視頻會講到學習率衰減，也就是如何減小學習率。

如果mini-batch大小既不是1也不是 $m$ ，應該取中間值，那應該怎么選擇呢？其實是有指導原則的。

首先，如果訓練集較小，直接使用batch梯度下降法，樣本集較小就沒必要使用mini-batch梯度下降法，你可以快速處理整個訓練集，所以使用batch梯度下降法也很好，這里的少是說小于2000個樣本，這樣比較適合使用batch梯度下降法。不然，樣本數目較大的話，一般的b大小為64到512，考慮到電腦內存設置和使用的方式，如果mini-batch大小是2的 $n$ 次方，代碼會運行地快一些，64就是2的6次方，以此類推，128是2的7次方，256是2的8次方，512是2的9次方。所以我經常把mini-batch大小設成2的次方。在上一個視頻里，我的mini-batch大小設為了1000，建議你可以試一下1024，也就是2的10次方。也有mini-batch的大小為1024，不過比較少見，64到512的mini-batch比較常見。

最后需要注意的是在你的mini-batch中，要確保 $X^{\{t\}}$ 和 $Y^{\{t\}}$ 要符合CPU/GPU內存，取決于你的應用方向以及訓練集的大小。如果你處理的mini-batch和CPU/GPU內存不相符，不管你用什么方法處理數據，你會注意到算法的表現急轉直下變得慘不忍睹，所以我希望你對一般人們使用的mini-batch大小有一個直觀了解。事實上mini-batch大小是另一個重要的變量，你需要做一個快速嘗試，才能找到能夠最有效地減少成本函數的那個，我一般會嘗試幾個不同的值，幾個不同的2次方，然后看能否找到一個讓梯度下降優化算法最高效的大小。希望這些能夠指導你如何開始找到這一數值。

你學會了如何執行mini-batch梯度下降，令算法運行得更快，特別是在訓練樣本數目較大的情況下。不過還有個更高效的算法，比梯度下降法和mini-batch梯度下降法都要高效的多，我們在接下來的視頻中將為大家一一講解。

課程PPT

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的2.2 理解 Mini-batch 梯度下降-深度学习第二课《改善深层神经网络》-Stanford吴恩达教授的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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