首先需要知道：二進制補碼表示的正數實際上左側有無限多個0，而負數有無限多個1.只是為了適應硬件的寬度，二進制表示的數的前導位被隱藏了。

舉例

下面看一下64位的 $?4_{ten}$的補碼（以64位機器（機器里面存的是補碼）為例）：

$00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000100_{two}=[4{]}_{補}$
$11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111100_{two}=[?4{]}_{補}$
下標two表示二進制，下標ten表示十進制。

我們把$[?4{]}_{補}$和$[4{]}_{補}$相加會得到什么呢？

$$\begin{gathered} [?4{]}_{補}+[4{]}_{補}=00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000100_{two} \\ +11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111111,11111100_{two} \\ =1,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000000,00000100_{two} \end{gathered}$$
我們發現 64位補碼相加得到$2^{64}$!

下面求8位的 $?4_{ten}$的補碼

已知 有符號數 $?4_{ten}=10000100_{two}$,

根據口訣:負數的補碼=負數的原碼取反(符號位不變，數據位取反)+1
可以得到：$[?4{]}_{補}=11111011_{two}+00000001_{two}=11111100_{two}$,

而$4_{ten}$的補碼仍然是原碼，即$[4{]}_{補}=00000100_{two}$,

我們把$[?4{]}_{補}$和$[4{]}_{補}$相加會得到什么呢？

$[?4{]}_{補}+[4{]}_{補}=11111100_{two}+00000100_{two}=1,00000000$

我們發現 8位補碼相加得到$2^8$!

歸納

二進制補碼得名于下述規則：一個n位的數與其n位的相反數做無符號加法，結果為$2^n$,因此，x的相反數（或相補數）-x 等于$2^n?x$,或叫“二進制補碼”。

以n=8位為例，1的二進制表示為00000001，則 -1的二進制補碼可以由上面的公式寫出來
$[?1{]}_{補}=2^n?1=2^8?1=1,00000000?00000001=11111112?00000001=11111111$
注：這里11111112僅僅是方便計算，實際二進制中逢二進一，還是100000000.

同樣的，我們來看-128的情況。

對于$128_{ten}=2^7=10000000$ ,這里的n=8，根據補碼的定義：

$[?128{]}_{補}=2^8?128=1,00000000?10000000=11111112?10000000=10000000$

綜上，求1個負數(-x)的補碼，只需要用$2^n?x$即可，這里的n表示這個負數的二進制位數。注意這里x是正數

后記：這個問題在《計算機組成與設計-硬件/軟件接口》一書中有詳細的解釋。

總結

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