臺灣國立大學郭彥甫Matlab教程筆記（20） root finding(numeric)

symbolic vs. numeric符號法和數值法的區別對比
symbolic
1)advantages
analytical solutions解析解
let you intuit憑感覺知道 things about solution form憑感覺知道解的形式
2）disadvantages
sometimes can’t be solved有時候解不出來
can be overly complicated過于復雜

numeric
1)advantages
always get a solution通常有解
can make solutions accurate 解很準確
easy to code 代碼簡單
2）disadvantages
hard to extract a deeper understanding
很難有更深的理解

這幾課的第二單元

numeric solver數值解

如何運用matlab中的內建函數

回顧一下function handle @
這里為什么還要復習function handle 呢？因為待會講的numeric solver 需要用到function handle

作用：a handle is a function pointer
pass functions to other functions
舉例子：一個函數的輸入是一個函數
下面是一個xy_plot()函數，可以繪制圖像

function [y]=xy_plot(input,x) y=input(x); plot(x,y,'r--'); xlabel('x'); ylabel('function(x)'); end

try：xy_plot(@sin,0:0.01:2pi);%畫出sin（）函數的圖像
xy_plot(@atan,0:0.01:2pi);%畫出arctan（）函數的圖像

畫出來的arctan（x）的圖像：

我們開始講numeric root solver 根數值求解

fsolve()函數的使用

a numeric root solver

關于fsolve()函數的用法：

（來源于百度百科）
舉例

例程：
f2= @(x) (1,2*x+0.3+x.*sin(x));
這個叫做inline function 內聯函數

fsolve(f2,0)%f2是一個函數句柄， 0是初始猜測，然后fsolve會幫我們解這個方程f(x)=0
代碼：
f2= @(x) (1,2*x+0.3+x.*sin(x));
fsolve(f2,0)%

function tolerance 什么意思呢？ 函數容差

計算出來

練習題：解二元方程組，使用數值解法fsolve

查資料
在matlab中輸入 help fsolve,然后進入 fsolve參考頁，學習一下fsolve 的用法

看下面的 二元非線性方程組的求解例題
題目：兩個變量的方程組如下

求解過程：
【1】寫一個函數，這個函數函數體中是兩個代求的方程，然后保存為.m文件
【2】用句柄@調用函數
【3】給初值，用fsolve()函數解決。
（來源：matlab官方文檔）

我的求解過程：
root2d.m文件中：
function F= root2d(x)%函數名是root2d
F(1)=2x-y-exp(-x);%函數體是兩個代求方程
F(2)=-x+2y-exp(-y);
end
上面代碼是錯誤的，需要用x(1)和x(2)來表示x和y，不能直接用y。

代碼修改為：
function F= root2d(x)%函數名root2d
F(1)=2x(1)-x(2)-exp(-x(1));%用x(1) and x(2)表示不同的 變量，比如x，y
F(2)=-x(1)+2x(2)-exp(-x(2));
end

function F= root2d(x)%函數名root2d F(1)=2*x(1)-x(2)-exp(-x(1));%用x(1) and x(2)表示不同的 變量，比如x，y F(2)=-x(1)+2*x(2)-exp(-x(2)); end

調用代碼：
fun=@root2d;%函數句柄調用root2d函數
x0=[-5,-5];%初始值
fsolve(fun,x0)

fun=@root2d;%函數句柄調用root2d函數 x0=[-5,-5];%初始值 fsolve(fun,x0)

計算結果x=0.5671 y=0.5671

另外一個 numeric root solver

fzero()函數

find the zero if and only if the function crosses the x-axis
fzero 需要注意，函數必須穿過x軸才有解。如果和x軸相切而不穿過，則fzero解不出來。
舉例：求 f=x^2的根

例程：下面就是解不出來
f=@(x) x.^2;
fzero(f,0.1)%f:function handle ; 0.1:initial guess

f=@(x) x.^2; fzero(f,0.1)%f:function handle ; 0.1:initial guess

運行結果：

可以用fsolve(f,0.1)解出值
但是精度不夠

然后 fsolve() 和 fzero() 函數有進階的用法
options

用法：
options =optimset(‘maxiter’,1e3,‘tolfun’,1e-10);

options =optimset('maxiter',1e3,'tolfun',1e-10);

使用一個function : optimset () option set 可以使算出來的數值精度更高

例程：
f=@(x) x.^2;
options =optimset(‘maxiter’,1e3,‘tolfun’,1e-10);
fsolve(f,0.1,options)
fzero(f,0.1,options)

f=@(x) x.^2; options =optimset('maxiter',1e3,'tolfun',1e-10); fsolve(f,0.1,options) fzero(f,0.1,options)

在誤差為1*10的-10次方的情況下，求得數值解為

數值解還有另外一個函數，用來對付polynomial多項式

finding roots of polynomials:root()函數

舉例：

代碼：
roots([1,-3.5,2.75,2.125,-3.875,1.25])
得到多項式的解：

練習題
使用roots()這個函數求解下面多項式的解

代碼：roots([1,-6,-12,81])
得到的多項式的解

這些fsolve 和fzero 是如何運作的呢？

兩種主要的數值求根方法：
一種是有區間包夾的：括號法
另一種是沒有區間包夾的，代表是牛頓法

數值方法停止運算需要兩個標準要滿足：要么是精度夠了，要么是運算次數達到了

下面看第一種method

bisection method (bracketing)括號法

現在進行到這里

bisection method (bracketing)

用二分法來找
lowerbond upperbond

iteration 遞歸，迭代
整個二分法的迭代過程：
其中，r是區間中點，然后不斷循環，區間不斷減半逼近根植

二分算法流程圖
bisection algorithm flowchart

下面看另外一個方法牛頓法

newton-raphson method(open)牛頓法

適用條件
1）函數連續
2）導數已知

牛頓法算法：

牛頓法思路：過f（x0）一點作切線，交x軸交點為x1，然后找到函數值f（x1），過該點再作切線，接著交x軸，不停迭代下去。知道找到曲線與x軸交點（方程的根）為止

牛頓法算法流程圖

下面我們來看一下二分法和牛頓法的比較

二分法和牛頓法的優缺點：
二分法：需要區間，結果比較可靠，但是比較慢
牛頓法：速度快，有時候不收斂，同時需要知道函數的微分

下面是最后一個單元 遞歸函數

recursive functions 遞歸函數

自己調用自己 functions that call themselves

舉例：計算階乘factorial

階乘可以用另一個階乘來表示（遞推公式）
n!=n*(n-1)!

遞歸函數大家都學過，這里使用英文版的了解一下。
遞歸函數需要退出條件，基礎情況；需要遞推公式

下面給出一個計算階乘的遞歸函數

function output =fact(n) if n==1output =1; else output=n*fact(n-1); endend

參考資料：
[1]B站av41338843視頻
[2]matlab官方文檔

【總結一下】
學習了求解非線性方程組的函數fsolve()的使用。
還有一個求根函數fzero()，適用條件：函數圖像穿過x軸
還有針對多項式的求根公式roots()

后面介紹了兩種求根的原理：二分法和牛頓法（切線逼近，速度快）
最后提及 遞歸函數recursive function

總結

以上是生活随笔為你收集整理的台湾国立大学郭彦甫Matlab教程笔记（20） root finding(numeric)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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