1.參考資料

2.相關定義

高斯白噪聲

概率上服從高斯分布，一階矩(均值)是常數，二階矩(方差)無關即時域上不同時刻的信號時不相關的噪聲；或者說噪聲的瞬時值服從高斯分布(高斯)，功率譜密度又是均勻分布的(白噪聲)，IMU的測量噪聲建模為高斯白噪聲。

隨機游走噪聲：

隨機游走是維納過程的離散形式，每一次更新位置都會疊加一個新的高斯白噪聲，IMU的bias建模為隨機游走噪聲。隨機游走噪聲的均值是初值的均值，方差是初值方差*間隔時間。

3.IMU 的噪聲模型

3.1噪聲的建模

參考<1>,將IMU的測量模型包含兩類傳感器誤差(error)，一類是波動激烈的測量白噪聲nt，一類是變化緩慢的bias:bt,我是這樣理解的，測量噪聲是AD轉換器件引起的外部噪聲；bias是傳感器內部機械、溫度等各種物理因素產生的傳感器內部誤差的綜合參數。IMU的加速度計和陀螺儀的每個軸都用彼此相互獨立的參數建模，一個角速度測量值和真值之間的連續域上的關系可以寫作：

3.2白噪聲和隨機游走噪聲的離散化

白噪聲的離散化,這里的方差推導思路是將一個采樣時間的的噪聲水平保持恒定，并將其平均到采樣時間的每一刻。

隨機游走噪聲的離散化

3.3如何獲取傳感器噪聲參數

參考<1>,噪聲參數可以通過器件手冊得到直接得到，或者利用采樣值計算其Allen 方差得到，有些器件手冊也會給出Allen 方差的表。具體方法參考<1>.同時作者建議對于低成本的MEMS,由于實際情況溫度的變化等，參數在此基礎上應該放大一些。

下表給出的σ是相關參數的標準差；

4.隨機噪聲和擾動的積分

這部分參考<6>中內容

機器人的狀態估計一部分重要的內容是其不確定性的傳遞(uncertainty propagation)，我們無法傳遞隨機信號下一時刻的值，但可以傳遞其概率特性，即其均值和方差。信號的不確定性可以由其噪聲的方差來表示，這里討論IMU的噪聲方差矩陣如何傳遞。系統的動態特性本質上是連續的，但是我們是以離散化的方式進行估計，這就涉及到其相關特性的離散化表示。

4.1建立模型

在連續域上，系統的動態方程為：

x是狀態向量，u是包含測量噪聲?u的控制信號，其測量噪聲即上面討論的測量白噪聲，所以控制測量值um=u+?u，w是隨機擾動向量，即上面討論的引起隨機游走噪聲bias的部分。控制噪聲和擾動都假設為高斯白噪聲。

4.2噪聲的離散化模型推導

我們在實際估計過程的離散上的進行的，所以需要對噪聲模型進行離散化。

控制噪聲(測量噪聲)的離散化：控制信號是在采樣時刻采樣得到的，并在一個采樣時間內被視為恒定。

這里的擾動是沒有采樣的，這就引起了測量和擾動噪聲在一個采樣時間內的噪聲積分的概率特性不同。我的理解：測量噪聲是MEMS器件AD轉換等引起的外部噪聲，擾動是MEMS器件內部物理特性引起的噪聲，所以兩者的離散化處理方法不同。

4.3系統的狀態誤差方程

由于實際系統往往是非線性的，一種思路是將其在當前狀態x點進行一階泰勒展開，即可以線性化的方法考慮其誤差傳遞。

4.4狀態誤差方程的積分

將其在一個采樣時刻進行積分,并表示成遞歸形式,得到三項：

4.4.1 第一項-狀態誤差

誤差的動態部分積分得到轉移矩陣：

這部分的來源參考：

4.4.2 第二項-測量白噪聲

和3.2不同的是，這里在保持一個時刻噪聲水平恒定的同時，采用的是一個采樣時間的噪聲的累加而不是將其平均到一個采樣時刻，即3.2推導方法的公式積分中由1Δt變成了Δt.具體哪個更合理，暫時沒有探究，待更新。

4.4.3 第三項-擾動噪聲離散化(隨機游走噪聲)

高斯白噪聲的積分得到高斯沖擊

4.5 離散的系統誤差方程

利用以上推導，我可以將系統的離散化誤差狀態方程寫作

這里對比了離散化和連續域系統誤差狀態方程的不同

總結4.1-4.5得到離散化的系統噪聲的概率特性(均值和方差)的傳遞方程。其中對于方差的傳遞，動態誤差項和采樣時間是指數關系，測量誤差項和采樣時間是二次方關系，擾動誤差項和采樣時間是線性關系。

4.6 誤差狀態方程的其他說明

4.5的離散方程也有其他寫法，主要差別在于其方差矩陣可能不會是完全斜對稱的，而且也不是影響到所有的狀態。

4.7 Full IMU example

IMU的離散誤差動態方程：

各個量的物理含義,其中true指的是實際值即測量值，Nominal 指標稱值即理想值。

按照4.5的形式,IMU的狀態誤差方程

4.8 按照4.6的形式，IMU的狀態誤差方程

總結

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