層次分析法-MATLAB

第八章 層次分析法 層次分析法(Analytic Hierarchy Process，簡(jiǎn)稱(chēng)AHP)是對(duì)一些較為復(fù)雜、較為模糊的問(wèn)題作出決策的簡(jiǎn)易方法，它特別適用于那些難于完全定量分析的問(wèn)題。它是美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一種簡(jiǎn)便、靈活而又實(shí)用的多準(zhǔn)則決策方法。 MATLAB教程網(wǎng) WWW.MATLAB.NET.CN §1 層次分析法的基本原理與步驟 人們?cè)谶M(jìn)行社會(huì)的、經(jīng)濟(jì)的以及科學(xué)管理領(lǐng)域問(wèn)題的系統(tǒng)分析中，面臨的常常是一個(gè)由相互關(guān)聯(lián)、相互制約的眾多因素構(gòu)成的復(fù)雜而往往缺少定量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)。層次分析法為這類(lèi)問(wèn)題的決策和排序提供了一種新的、簡(jiǎn)潔而實(shí)用的建模方法。 運(yùn)用層次分析法建模，大體上可按下面四個(gè)步驟進(jìn)行： (i)建立遞階層次結(jié)構(gòu)模型； (ii)構(gòu)造出各層次中的所有判斷矩陣； (iii)層次單排序及一致性檢驗(yàn)； (iv)層次總排序及一致性檢驗(yàn)。 下面分別說(shuō)明這四個(gè)步驟的實(shí)現(xiàn)過(guò)程。 1.1 遞階層次結(jié)構(gòu)的建立與特點(diǎn) 應(yīng)用AHP分析決策問(wèn)題時(shí)，首先要把問(wèn)題條理化、層次化，構(gòu)造出一個(gè)有層次的結(jié)構(gòu)模型。在這個(gè)模型下，復(fù)雜問(wèn)題被分解為元素的組成部分。這些元素又按其屬性及關(guān)系形成若干層次。上一層次的元素作為準(zhǔn)則對(duì)下一層次有關(guān)元素起支配作用。這些層次可以分為三類(lèi)： (i)最高層：這一層次中只有一個(gè)元素，一般它是分析問(wèn)題的預(yù)定目標(biāo)或理想結(jié)果，因此也稱(chēng)為目標(biāo)層。 (ii)中間層：這一層次中包含了為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)，它可以由若干個(gè)層次組成，包括所需考慮的準(zhǔn)則、子準(zhǔn)則，因此也稱(chēng)為準(zhǔn)則層。 (iii)最底層：這一層次包括了為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)可供選擇的各種措施、決策方案等，因此也稱(chēng)為措施層或方案層。 遞階層次結(jié)構(gòu)中的層次數(shù)與問(wèn)題的復(fù)雜程度及需要分析的詳盡程度有關(guān)，一般地層次數(shù)不受限制。每一層次中各元素所支配的元素一般不要超過(guò)9個(gè)。這是因?yàn)橹涞脑剡^(guò)多會(huì)給兩兩比較判斷帶來(lái)困難。 下面結(jié)合一個(gè)實(shí)例來(lái)說(shuō)明遞階層次結(jié)構(gòu)的建立。 例1 假期旅游有、、 3個(gè)旅游勝地供你選擇，試確定一個(gè)最佳地點(diǎn)。 在此問(wèn)題中，你會(huì)根據(jù)諸如景色、費(fèi)用、居住、飲食和旅途條件等一些準(zhǔn)則去反復(fù)比較3個(gè)侯選地點(diǎn)。可以建立如下的層次結(jié)構(gòu)模型。 目標(biāo)層 選擇旅游地 準(zhǔn)則層 景色 費(fèi)用 居住 飲食 旅途 措施層 1.2 構(gòu)造判斷矩陣 層次結(jié)構(gòu)反映了因素之間的關(guān)系，但準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則在目標(biāo)衡量中所占的比重并不一定相同，在決策者的心目中，它們各占有一定的比例。 在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時(shí)，遇到的主要困難是這些比重常常不易定量化。此外，當(dāng)影響某因素的因子較多時(shí)，直接考慮各因子對(duì)該因素有多大程度的影響時(shí)，常常會(huì)因考慮不周全、顧此失彼而使決策者提出與他實(shí)際認(rèn)為的重要性程度不相一致的數(shù)據(jù)，甚至有可能提出一組隱含矛盾的數(shù)據(jù)。為看清這一點(diǎn)，可作如下假設(shè)：將一塊重為1千克的石塊砸成小塊，你可以精確稱(chēng)出它們的重量，設(shè)為，現(xiàn)在，請(qǐng)人估計(jì)這小塊的重量占總重量的比例(不能讓他知道各小石塊的重量)，此人不僅很難給出精確的比值，而且完全可能因顧此失彼而提供彼此矛盾的數(shù)據(jù)。 設(shè)現(xiàn)在要比較個(gè)因子對(duì)某因素的影響大小，怎樣比較才能提供可信的數(shù)據(jù)呢？Saaty等人建議可以采取對(duì)因子進(jìn)行兩兩比較建立成對(duì)比較矩陣的辦法。即每次取兩個(gè)因子和，以表示和對(duì)的影響大小之比，全部比較結(jié)果用矩陣表示，稱(chēng)為之間的成對(duì)比較判斷矩陣(簡(jiǎn)稱(chēng)判斷矩陣)。容易看出，若與對(duì)的影響之比為，則與對(duì)的影響之比應(yīng)為。 定義1 若矩陣滿(mǎn)足 (i)，(ii)() 則稱(chēng)之為正互反矩陣(易見(jiàn)，)。 關(guān)于如何確定的值，Saaty等建議引用數(shù)字1~9及其倒數(shù)作為標(biāo)度。下表列出了1~9標(biāo)度的含義： 標(biāo)度 含 義 1 3 5 7 9 2，4，6，8 倒數(shù) 表示兩個(gè)因素相比，具有相同重要性 表示兩個(gè)因素相比，前者比后者稍重要 表示兩個(gè)因素相比，前者比后者明顯重要 表示兩個(gè)因素相比，前者比后者強(qiáng)烈重要 表示兩個(gè)因素相比，前者比后者極端重要 表示上述相鄰判斷的中間值 若因素與因素的重要性之比為，那么因素與因素重要性之比為。 從心理學(xué)觀點(diǎn)來(lái)看，分級(jí)太多會(huì)超越人們的判斷能力，既增加了作判斷的難度，又容易因此而提供虛假數(shù)據(jù)。Saaty等人還用實(shí)驗(yàn)方法比較了在各種不同標(biāo)度下人們判斷結(jié)果的正確性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也表明，采用1~9標(biāo)度最為合適。 最后，應(yīng)該指出，一般地作次兩兩判斷是必要的。有人認(rèn)為把所有元素都和某個(gè)元素比較，即只作個(gè)比較就可以了。這種作法的弊病在于，任何一個(gè)判斷的失誤均可導(dǎo)致不合理的排序，而個(gè)別判斷的失誤對(duì)于難以定量的系統(tǒng)往往是難以避免的。進(jìn)行次比較可以提供更多的信息，通過(guò)各種不同角度的反復(fù)比較，從而導(dǎo)出一個(gè)合理的排序。 1.3 層次單排序及一致性檢驗(yàn) 判斷矩陣對(duì)應(yīng)于最大特征值的特征向量，經(jīng)歸一化后即為同一層次相應(yīng)因素對(duì)于上一層次某因素相對(duì)重要性的排序權(quán)值，這一過(guò)程稱(chēng)為層次單排序。 上述構(gòu)造成對(duì)比較判斷矩陣的辦法雖能減少其它因素的干擾，較客觀地反映出一對(duì)因子影響力的差別。但綜合全部比較結(jié)果時(shí)，其中難免包含一定程度的非一致性。如果比較結(jié)果是前后完全一致的，則矩陣的元素還應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足： ， (1) 定義2 滿(mǎn)足關(guān)系式(1)的正互反矩陣稱(chēng)為一致矩陣。 需要檢驗(yàn)構(gòu)造出來(lái)的(正互反)判斷矩陣是否嚴(yán)重地非一致，以便確定是否接受。 定理1 正互反矩陣的最大特征根必為正實(shí)數(shù)，其對(duì)應(yīng)特征向量的所有分量均為正實(shí)數(shù)。的其余特征值的模均嚴(yán)格小于。 定理2 若為一致矩陣，則 (i)必為正互反矩陣。 (ii)的轉(zhuǎn)置矩陣也是一致矩陣。 (iii)的任意兩行成比例，比例因子大于零，從而(同樣，的任意兩列也成比例)。 (iv)的最大特征值，其中為矩陣的階。的其余特征根均為零。 (v)若的最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為，則，，即 定理3 階正互反矩陣為一致矩陣當(dāng)且僅當(dāng)其最大特征根，且當(dāng)正互反矩陣非一致時(shí)，必有。 根據(jù)定理3，我們可以由是否等于來(lái)檢驗(yàn)判斷矩陣是否為一致矩陣。由于特征根連續(xù)地依賴(lài)于，故比大得越多，的非一致性程度也就越嚴(yán)重，對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量也就越不能真實(shí)地反映出 在對(duì)因素的影響中所占的比重。因此，對(duì)決策者提供的判斷矩陣有必要作一次一致性檢驗(yàn)，以決定是否能接受它。 對(duì)判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)的步驟如下： (i)計(jì)算一致性指標(biāo) (ii)查找相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)。對(duì)，Saaty給出了的值，如下表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 的值是這樣得到的，用隨機(jī)方法構(gòu)造500個(gè)樣本矩陣：隨機(jī)地從1~9及其倒數(shù)中抽取數(shù)字構(gòu)造正互反矩陣，求得最大特征根的平均值，并定義 。 (ⅲ)計(jì)算一致

總結(jié)

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