文章目錄

• • 1 算法效率的度量
  • • 1.1 算法效率度量的方法
    • 1.2 事后統(tǒng)計法
    • 1.3 事前分析估算法
  • 2 算法的復(fù)雜度
  • • 2.1 算法的復(fù)雜度
    • 2.2 算法的時間復(fù)雜度
    • 2.3 算法的空間復(fù)雜度

1 算法效率的度量

1.1 算法效率度量的方法

思考：如果兩個算法都滿足功能性需求，那工程中最關(guān)心的其它特性是什么？如何比較評判呢？

注意：性價比（比率）是工程中最關(guān)注的算法附件特性！

算法效率度量的方法主要分為兩種：事后統(tǒng)計法和事前分析估算法。

1.2 事后統(tǒng)計法

比較不同算法對同一組輸入數(shù)據(jù)的運行處理時間。

缺陷：

• 為了獲得不同算法的運行時間必須編寫相應(yīng)程序。
• 運行時間嚴重依賴硬件以及運行時的環(huán)境因素。
• 算法的測試數(shù)據(jù)的選取相當(dāng)困難。

事后統(tǒng)計法不容易準(zhǔn)確度量算法的效率。

1.3 事前分析估算法

依據(jù)統(tǒng)計的方法對算法效率進行估算。

影響算法效率的主要因素：

算法采用的策略和方法。

問題的輸入規(guī)模。

編譯器所產(chǎn)生的代碼。

計算機執(zhí)行速度。

事前分析估算法通過操作數(shù)量度量算法效率。

判斷一個算法效率時只需要關(guān)注最高階項就能得出結(jié)論。某個算法，隨著問題規(guī)模n的增大，它會越來越優(yōu)于另一個算法，或者越來越差于另一個算法。

結(jié)論：判斷一個算法的效率時，操作數(shù)量中的常數(shù)項和其他次要項常常可以忽略，只需要關(guān)注最高階項就能得出結(jié)論。

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2 算法的復(fù)雜度

2.1 算法的復(fù)雜度

問題：如何用符號定性的判斷算法的效率？

算法的復(fù)雜度：

• 時間復(fù)雜度：算法運行后對事件需求量的定性描述。
• 空間復(fù)雜度：算法運行后對空間需求量的定性描述。

注意：

• 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程重點關(guān)注的是算法的效率問題，因此，整個課程會集中于討論算法的時間復(fù)雜度；但其使用的方法完全可以用于空間復(fù)雜度的判斷！

2.2 算法的時間復(fù)雜度

時間復(fù)雜度是算法運行時對于時間的需求量，大O表示法用于描述算法的時間復(fù)雜度，大O表示法只關(guān)注操作數(shù)量的最高次項。

大O表示法：

• 算法效率嚴重依賴于操作（Operation）數(shù)量。
• 操作數(shù)量的估算可以作為時間復(fù)雜度的估算。
• 在判斷時首先關(guān)注操作數(shù)量的最高次項。
  
  常見的時間復(fù)雜度如下：
  
  
  
  常見的時間復(fù)雜度列出如下：
  
  常見的時間復(fù)雜度的比較：
  
  一般而言，工程中使用的算法，時間復(fù)雜度不超過O(n^3)。

算法分析示例：

算法的最好與最壞情況：

• 當(dāng)算法在最壞情況下仍然能滿足需求時，可以推斷，算法的最好情況和平均情況都滿足需求。
• 一般情況下，如果沒有特殊說明，我們所分析算法的時間復(fù)雜度都是指最壞時間復(fù)雜度。

2.3 算法的空間復(fù)雜度

算法的空間復(fù)雜度（Space Complexity）：

• 定義：S(n) = S(f(n))
  • n為算法的問題規(guī)模。
  • f(n)為空間使用函數(shù)，與n相關(guān)。

推到時間復(fù)雜度的方法同樣適用于空間復(fù)雜度，例如：當(dāng)算法所需要的空間是常數(shù)時，空間復(fù)雜度為S(1)。

空間復(fù)雜度計算示例：

空間與時間的策略：

• 多數(shù)情況下，算法的時間復(fù)雜度更令人關(guān)注。
• 如果有必要，可以通過增加額外空間降低時間復(fù)雜度。
• 同理，也可以通過增加算法的耗時降低空間復(fù)雜度。

實例分析：空間換時間

/*問題： 在一個由自然數(shù)1-1000中某些數(shù)字所組成的數(shù)組中，每個數(shù)字可能出現(xiàn)零次或者多次。設(shè)計一個算法，找出出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)字。 */#include <iostream>using namespace std;void search(int a[], int len) // O(n) {int sp[1000] = {0};int max = 0;for(int i=0; i<len; i++){sp[a[i] - 1]++;}for(int i=0; i<1000; i++){if( max < sp[i] ){max = sp[i];}}for(int i=0; i<1000; i++){if( max == sp[i] ){cout << i + 1 << endl;}} }int main(int argc, char* argv[]) {int a[] = {1, 1, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 3, 3};search(a, sizeof(a)/sizeof(*a));return 0; }

面試題：當(dāng)兩個算法的大O表示法相同時，是否意味著兩個算法的效率完全相同？

• 不相同，只是在一個數(shù)量級上。

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參考資料：

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)實戰(zhàn)開發(fā)教程

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的算法的复杂度分析的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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