這里的e是一個數的代表符號，而我們要說的，便是e的故事。這倒叫人有點好奇了，要能說成一本書，這個數應該大有來頭才是，至少應該很有名吧？但是搜索枯腸，大部分人能想到的重要數字，除了眾人皆知的0及1外，大概就只有和圓有關的π了，了不起再加上虛數單位的i=√-1。這個e究竟是何方神圣呢？

在高中數學里，大家都學到過對數(logarithm)的觀念，也用過對數表。教科書里的對數表，是以10為底的，叫做常用對數(common logarithm)。課本里還簡略提到，有一種以無理數e=2.71828……為底數的對數，稱為自然對數(natural logarithm)，這個e，正是我們故事的主角。不知這樣子說，是否引起你更大的疑惑呢？在十進位制系統里，用這樣奇怪的數為底，難道會比以10為底更「自然」嗎？更令人好奇的是，長得這麼奇怪的數，會有什麼故事可說呢？

這就要從古早時候說起了。至少在微積分發明之前半個世紀，就有人提到這個數，所以雖然它在微積分里常常出現，卻不是隨著微積分誕生的。那麼是在怎樣的狀況下導致它出現的呢？一個很可能的解釋是，這個數和計算利息有關。

我們都知道復利計息是怎麼回事，就是利息也可以并進本金再生利息。但是本利和的多寡，要看計息周期而定，以一年來說，可以一年只計息一次，也可以每半年計息一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次；當然計息周期愈短，本利和就會愈高。有人因此而好奇，如果計息周期無限制地縮短，比如說每分鐘計息一次，甚至每秒，或者每一瞬間(理論上來說)，會發生什麼狀況？本利和會無限制地加大嗎？答案是不會，它的值會穩定下來，趨近於一極限值，而e這個數就現身在該極限值當中(當然那時候還沒給這個數取名字叫e)。所以用現在的數學語言來說，e可以定義成一個極限值，但是在那時候，根本還沒有極限的觀念，因此e的值應該是觀察出來的，而不是用嚴謹的證明得到的。

包羅萬象的e

讀者恐怕已經在想，光是計算利息，應該不至於能講一整本書吧？當然不，利息只是極小的一部分。令人驚訝的是，這個與計算復利關系密切的數，居然和數學領域不同分支中的許多問題都有關聯。在討論e的源起時，除了復利計算以外，事實上還有許多其他的可能。問題雖然都不一樣，答案卻都殊途同歸地指向e這個數。比如其中一個有名的問題，就是求雙曲線y=1/x底下的面積。雙曲線和計算復利會有什麼關系，不管橫看、豎看、坐著想、躺著想，都想不出一個所以然對不對？可是這個面積算出來，卻和e有很密切的關聯。我才舉了一個例子而已，這本書里提到得更多。

如果整本書光是在講數學，還說成是說故事，就未免太不好意思了。事實上是，作者在探討數學的同時，穿插了許多有趣的相關故事。比如說你知道第一個對數表是誰發明的嗎？是納皮爾(John Napier)。沒有聽說過？這很正常，我也是讀到這本書才認識他的。重要的是要下一個問題。你知道納皮爾花了多少時間來建構整個對數表嗎？請注意這是發生在十六世紀末、十七世紀初的事情，別說電腦和計算機了，根本是什麼計算工具也沒有，所有的計算，只能利用紙筆一項一項慢慢地算，而又還不能利用對數來化乘除為加減，好簡化計算。因此納皮爾整整花了二十年的時間建立他的對數表，簡直是匪夷所思吧！試著想像一下二十年之間，每天都在重復做同類型的繁瑣計算，這種乏味的日子絕不是一般人能忍受的。但納皮爾熬過來了，而他的辛苦也得到了報償——對數受到了熱切的歡迎，許多歐洲甚至中國的科學家都迅速采用，連納皮爾也得到了來自世界各地的贊譽。最早使用對數的人當中，包括了大名鼎鼎的天文學家刻卜勒，他利用對數，簡化了行星軌道的繁復計算。

在《毛起來說e》中，還有許多我們在一般數學課本里讀不到的有趣事實。比如第一本微積分教科書是誰寫的呢？(假如你曾受微積分課程之苦，也會想知道誰是「始作俑者」吧？」)是羅必達先生。對啦，就是羅必達法則(L'Hospital's Rule)的那位羅必達。但是羅必達法則反倒是約翰．伯努利先發現的。不過這無關乎剽竊的問題，他們之間是有協議的。

說到伯努利可就有故事說了，這個家族實在不得了，別的家族出一位天才就可以偷笑了，而他們家族的天才是用「量產」形容。伯努利們前前后后在數學領域中活躍了一百年，他們的諸多成就(不僅止於數學領域)，就算隨便列一列，也有一本書這麼厚。不過這個家族另外擅長的一件事就不太敢恭維了，那就是吵架。自家人吵不夠，也跟外面的人吵(可說是「表里如一」)。連爸爸與兒子合得一個大獎，爸爸還非常不滿意，覺得應該由自己獨得，居然氣得把兒子趕出家門；和現代的許多「孝子」們比起來，這位爸爸真該感到慚愧。

e的「影響力」其實還不限於數學領域。大自然中太陽花的種子排列、鸚鵡螺殼上的花紋都呈現螺線的形狀，而螺線的方程式，是要用e來定義的。建構音階也要用到e，而如果把一條鏈子兩端固定，松松垂下，它呈現的形狀若用數學式子表示的話，也需要用到e。這些與計算利率或者雙曲線面積八竿子打不著的問題，居然統統和e有關，豈不奇妙？

數學其實沒那麼難！

我們每個人的成長過程中都讀過不少數學，但是在很多人心目中，數學似乎是門無趣甚至可怕的科目。尤其到了大學的微積分，到處都是定義、定理、公式，令人望之生畏。我們會害怕一個學科的原因之一，是有距離感，那些微積分里的東西，好像不知是從哪兒冒出來的，對它毫無感覺，也覺得和我毫無關系。如果我們知道微積分是怎麼演變、由誰發明的，而發明之時還發生了些什麼事(微積分是誰發明的這件事，爭論了許多年，對數學發展產生重大的影響)，

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2017-11-09

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總結

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