1 介紹

? ? ? ? 當(dāng)一個(gè)實(shí)矩陣A是對(duì)稱正定矩陣的時(shí)候，它可以分解成一個(gè)下三角矩陣L以及它的轉(zhuǎn)置的乘積，即：

? 1.1 矩陣半正定的情況

????????如果矩陣是正定的話，那么L唯一確定；如果矩陣是半正定的話，那么也可以分解，不過(guò)此時(shí)L不唯一。

?2 舉例

3 使用??scipy.linalg.cholesky求解

3.1 用法

scipy.linalg.cholesky(a, lower=False, overwrite_a=False, check_finite=True)

?返回值：c：(M，M)ndarray，表示a的上三角或下三角Cholesky因子。

?3.2 參數(shù)介紹

a	(M, M) array_like 待分解的矩陣
lower	bool, 可選參數(shù) 是計(jì)算上三角Cholesky還是下三角Cholesky分解。默認(rèn)值為upper-triangular
overwrite_a	bool, 可選參數(shù) 是否覆蓋a中的數(shù)據(jù)(可能會(huì)提高性能)
check_finite	bool, 可選參數(shù) 是否檢查輸入矩陣僅包含有限數(shù)。禁用可能會(huì)提高性能，但是如果輸入中確實(shí)包含無(wú)窮大或NaN，則會(huì)導(dǎo)致問(wèn)題(崩潰，終止)。

3.3 用法舉例?

import numpy as np from scipy import linalga = np.array([[4, 12, -16],[12, 37, -43],[-16, -43, 98]]) L_lower = linalg.cholesky(a, lower=True) # 默認(rèn)計(jì)算 upper， 所以指定 lower = True L_upper = linalg.cholesky(a) print(L_lower,'\n',L_upper) ''' [[ 2. 0. 0.][ 6. 1. 0.][-8. 5. 3.]] [[ 2. 6. -8.][ 0. 1. 5.][ 0. 0. 3.]] ''' print(L_lower @ L_upper) ''' [[ 4. 12. -16.][ 12. 37. -43.][-16. -43. 98.]] '''

4 平方根法求L

我們假設(shè)矩陣A可以分解成

的結(jié)果為：

• 首先我們看第一個(gè)元素：
• 然后我們看第一列的其他元素：? ? ? ? ?
• 之后，我們假設(shè)已經(jīng)算出了L矩陣的前k-1列元素
  • 通過(guò)??，可以得到：
  • 進(jìn)一步再由，可以得到：?
• 于是我們可以通過(guò)以上方式迭代求得L

?5 在計(jì)算機(jī)編程中?Cholesky分解的作用

?????????在計(jì)算機(jī)程序中常常用到這種方法解線性代數(shù)方程組。它的優(yōu)點(diǎn)是存儲(chǔ)量很省。用矩陣A一半的存儲(chǔ)空間，就可以表達(dá)A的全部信息? ? ? ??

參考資料

數(shù)學(xué)之美：cholesky矩陣分解_BigCowPeking-CSDN博客_cholesky分解

Cholesky分解 - 知乎 (zhihu.com)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数笔记： Cholesky分解的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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