1 空間向量

假設(shè)a=[x?y]T，空間中的a?可以理解為從原點(diǎn)(0,0)?到(x,y)?的一條有向線段，也就是x?軸上長(zhǎng)度與y?軸上長(zhǎng)度的矢量疊加。那么數(shù)乘向量λ×a?可以理解為將x?軸與y?軸長(zhǎng)度分別變?yōu)?span style="background-color:#FFFFFF;">λ?倍后矢量疊加在一起，同時(shí)也可以理解為將原本疊加的向量變?yōu)?span style="background-color:#FFFFFF;">λ?倍。

?1.1 向量的性質(zhì)

1）加法交換律

2）加法結(jié)合律

3）0+α=α+0=α （零元）

4）α+(-α）=0 （負(fù)元）

5）1α=α （單位元）

6）(kl)α=k(lα）乘法結(jié)合律

7）(k+l)α=kα+lα? 乘法左分配律

8）k(α+β)=kα+kβ?乘法右分配律

1.2 向量空間

給定一個(gè)數(shù)域K，令n是任意給定的一個(gè)正整數(shù)，那么={(a1,a2,…..,an)|ai∈K}

中的兩個(gè)元素(a1,a2,…..an)和(b1,b2,……bn)相等，當(dāng)a1=b1,a2=b2,……an=bn

數(shù)域K上所有n元有序數(shù)組組成的集合,連同定義在它上面的加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算，和8條性質(zhì)一起，構(gòu)成數(shù)域K上的n維向量空間

?1.3 線性組合和線性表出

如果某一個(gè)元素可以由其他幾個(gè)元素線性組合而成，那么稱其可以被線性表出

2 向量集

3?線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的向量組

中向量組a1,a2,……as是線性相關(guān)（linear dependent）的：如果K中不全為0的數(shù)k1,k2,……ks，使得k1a1+k2a2+……+ksas=0

——>也就是說(shuō)至少有一個(gè)向量可以由其他向量線性表出

中向量組a1,a2,……as是線性無(wú)關(guān)（linear independent）的：如果k1a1+k2a2+……+ksas=0，可以推出所有的系數(shù)全為0?

——>每一個(gè)向量都不能由其他向量線性表出

包含零向量的向量組一定線性相關(guān)

——>零向量的那個(gè)系數(shù)為1，別的為0即可

單個(gè)向量線性無(wú)關(guān) 等價(jià)于 此向量不為零向量

a1,a2,……an是線性相關(guān)的

——>以a1,…..an為列向量組的矩陣的行列式為0

——>無(wú)窮組解（有非零解）（det=0，要么是無(wú)解，要么是無(wú)窮解。因?yàn)橐呀?jīng)有零解這一個(gè)解了，所以肯定不是無(wú)解）

a1,a2,……an是線性無(wú)關(guān)的

——>以a1,…..an為列向量組的矩陣的行列式不為0

——>唯一解，也就是零解

如果向量組線性無(wú)關(guān)——它的延伸組也線性無(wú)關(guān)（延伸組：每個(gè)向量添加幾個(gè)維度）

如果向量組線性相關(guān)——它的縮短組也線性相關(guān)（縮短組：每個(gè)向量縮短幾個(gè)維度）

向量組的一個(gè)部分組線性相關(guān)——向量組線性相關(guān)（不在部分組的向量為0，不分組的按照線性相關(guān)的組合設(shè)定系數(shù)）

向量組線性無(wú)關(guān)——向量組的部分組線性無(wú)關(guān)（如果部分組線性相關(guān)，假設(shè)系數(shù)組合為k1,k2,...kn，那么至少對(duì)于原向量組來(lái)說(shuō)k1,k2,...kn,0,...0是一種使得向量組線性相關(guān)的系數(shù)組合）

4 向量的秩rank?

4.1 向量組的等價(jià)

????????兩個(gè)向量組互相可以線性表出對(duì)方（向量組中的每一個(gè)向量都能被另一個(gè)向量組線性表出）——這兩個(gè)向量組等價(jià)

向量組的等價(jià)具有以下三個(gè)性質(zhì)：

? ? ? ? 1）反身性

? ? ? ? 2）傳遞性

? ? ? ? 3）對(duì)稱性

4.2 極大線性無(wú)關(guān)組

極大線性無(wú)關(guān)組——這個(gè)部分組是線性無(wú)關(guān)的，但是從向量組的其余向量中任意填進(jìn)去一個(gè)，得到的新的部分組都是線性相關(guān)的

向量組和它的極大無(wú)關(guān)組等價(jià)

向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià)

?向量組β1,β2,……βr可以由向量組α1，α2，…αs線性表出，如果r＞s，那么β1,…βr線性相關(guān)（少的那個(gè)可能線性相關(guān)，可能線性無(wú)關(guān)，但是多的那個(gè)一定線性相關(guān)）

等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組所含向量的個(gè)數(shù)相等

——>向量的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)相同

?4.3 向量組的秩

向量組的極大無(wú)關(guān)向量組所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩

——>向量a1…..as線性無(wú)關(guān)的充要條件是它的秩等于s

????????如果向量組I能由向量組Ⅱ線性表出，那么向量組I的秩小于等于向量組Ⅱ （向量組I能由向量組Ⅱ線性表出，說(shuō)明向量組Ⅱ的部分或者全部可以表示向量組Ⅰ。換句話說(shuō)，向量組Ⅰ可以表示的，向量組Ⅱ都能，向量組Ⅱ可能還有向量組Ⅰ不能表示的，所以向量組Ⅱ的秩大于等于向量組Ⅰ）

????????等價(jià)的向量組有相同的秩

4.4 矩陣的秩

列秩：列向量組的秩

行秩：行向量組的秩t

4.4.1 階梯形矩陣的列秩和行秩

????????階梯形矩陣（echelon form）的行秩和列秩相等，都等于非零行的個(gè)數(shù)；且該階梯型矩陣的主元所在的列構(gòu)成了一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。

????????矩陣的初等行（列）變換不改變行（列）秩

????????矩陣A經(jīng)過初等行變換變成階梯形矩陣J，那么A的秩等于J的非零行的個(gè)數(shù)，且J的主元對(duì)應(yīng)的A的列構(gòu)成一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。

4.4.2 矩陣的秩

任意矩陣的行秩=列秩——>矩陣和它的轉(zhuǎn)置秩相等

任意非零矩陣的秩都等于它的不為零的子式的最高階數(shù)

滿秩矩陣——>方陣，且秩等于它的級(jí)數(shù)

?設(shè)s*n階矩陣 A的秩為r，則A的不為0的r階子式所在的行/列構(gòu)成A的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組

?4.4.3 矩陣的秩和簡(jiǎn)化階梯矩陣的秩

?——>給定一個(gè)M*N的矩陣，他的秩小于等于min(M,N)

兩個(gè)矩陣乘積的秩小于等于兩個(gè)矩陣的秩?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的李宏毅线性代数笔记4：向量的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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