博弈论笔记1：囚徒困境与纳什均衡
1?個體最優(yōu)與社會最優(yōu)
1.1 社會基本問題
社會：個體之間有互動行為&相互依賴的群體
羊群效應：大家做什么，我就跟著做什么，不管對錯和原因
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協(xié)調(diào)問題：兩人迎面走來，誰左誰右？（核心：人們?nèi)绾晤A測他人的行為）
合作問題：囚徒困境（核心：個體理性和集體理性的折衷）
等邊際原理：如果每一種資源都存在著邊際收益遞減，那么最優(yōu)的資源配置策略應該滿足：最后一單位資源無論用在哪一種用途上，都會產(chǎn)生相同的收益。 【資源在每一種用途上的邊際貢獻相等】
1.2 個體理性行為
理性人：有一個明確的偏好+在給定約束條件下，這個人總是追求自我偏好最大化。
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輸贏的不對稱：當人們面臨風險決策時， 他們更在乎的是成功與失敗，贏和輸， 財富的變化，而不是最終的財富狀態(tài)；（比如說，100元損失導致的效用的減少遠遠大于100收益導致的效用的增加）——>人們是損失規(guī)避型的(loss aversion)；
1.3 社會最優(yōu)
1.3.1 帕累托效率標準：
帕累托效率：一種社會狀態(tài)，與該狀態(tài)相比，不存在任何一種可選擇的狀態(tài)，使得至少一個人的狀態(tài)更好，同時沒有任意一個人的狀態(tài)變差
帕累托改進：改變一種狀態(tài)，使得沒有任何一個人的處境變壞，但是至少有一個人的處境變好了
**從非帕累托最優(yōu)點到帕累托最優(yōu)點不一定是帕累托改進
1.3.2 卡爾多-希克斯標準
總量最大化
2 囚徒困境
2.1 占優(yōu)策略
不管對方使用什么樣的戰(zhàn)略，只要參與人使用這一戰(zhàn)略，都可以給自己帶來最大的收益。
理性人做決策的時候，不需要假定對方是理性的。
占優(yōu)戰(zhàn)略均衡：由占優(yōu)戰(zhàn)略組成的戰(zhàn)略組合。
2.2 囚徒困境
盡管合作能讓雙方更好，但雙方仍然不會合作
怎么比較好地去記一個方框里面哪個是甲的收益哪個是乙的收益呢？我們畫一條線，斜線上方的就是表格“上方”的乙的收益；斜線左邊的就是表格“左邊”的甲的收益。
兩個假設：
? ? ? ?R>T>P>S
? ? ? ?T+T>R+S
只要滿足這兩個條件，一定是個人理性選擇不滿足集體理性選擇。
在這兩個假設下，集體理性肯定是選擇（合作，合作），這樣總體的利益最高。
但是個人理性觀點下呢？
以甲為例，當乙合作的時候，我們看下圖藍框框住的部分。如果甲合作，那么甲收益為T；甲不合作，甲的收益為R，又R>T，所以乙合作的時候，甲會不合作；同理，乙不合作的時候，甲也不合作（P＞S）。所以無論乙怎么選擇，甲都不合作。
乙同理，不論甲怎么選擇，乙的占優(yōu)策略都是不合作
2.2.1 囚徒困境的解決方法
設立獎懲機制，適當?shù)販p少R，增大S
如果需要二者合作，那么T+aT≥R+aS，S+aR≥P+aP
3 智豬博弈
我們先考慮小豬：
如果大豬做，那么小豬不做；如果大豬不做，那么小豬也不做——>小豬的占優(yōu)策略是不做
我們考慮大豬：
如果小豬做，那么大豬不做；如果小豬不做，那么大豬做——>大豬沒有占優(yōu)策略。
但如果大豬事先知道小豬是理性的，那么大豬就會知道小豬不做，所以對于大豬來說，只剩下一半的博弈矩陣，那么大豬選擇做就可以了。
所以最后的均衡狀態(tài)是（做，不做）
4 納什均衡
納什均衡：所有參與人的最優(yōu)戰(zhàn)略的組合，給定這一組合中其他參與人的選擇，沒有任何人有積極性改變自己的選擇。
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混合戰(zhàn)略納什均衡：均衡結(jié)果是參與人以某一概率隨機選擇行動。
純戰(zhàn)略納什均衡：參與人確定的選擇某一個特定的戰(zhàn)略【退化混合戰(zhàn)略納什均衡】。
4.1 監(jiān)督博弈
假如一開始是（偷懶，偷懶）
->如果老板偷懶，那么工人不偷懶
->如果工人不偷懶，那么老板不偷懶
->如果老板不偷懶，那么工人偷懶
->如果工人偷懶，那么老板偷懶
這樣又循環(huán)回去了，也就是說，這里沒有純戰(zhàn)略的納什均衡。
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假如老板認為員工偷懶的概率是P，不偷懶的概率是1-P。
從老板的角度，自己不偷懶的期望收益是-2*P+2*(1-P)=2-4P，偷懶的期望收益是1*P+-1*（1-P)=2P-1
從員工的角度，自己不希望老板猜到自己偷懶還是不偷懶：
2-4P=2P-1 ->? P=1/2
這時，員工1/2的概率偷懶，1/2的概率不偷懶
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假如老板以Q的概率偷懶，1-Q的概率不偷懶
從員工的角度，自己偷懶的期望收益是-1*Q+3*（1-Q)=3-4Q
自己不偷懶的期望收益是2*Q+2&（1-Q）=2
還是兩者應該相等
所以Q=1/4
也就是老板以1/4的概率偷懶，3/4的概率不偷懶
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所以，這個博弈的納什均衡是，員工1/2的概率偷懶，1/2的概率不偷懶;老板1/4的概率偷懶，3/4的概率不偷懶。
4.2 納什均衡的存在性
每一個有限博弈至少存在一個納什均衡（純戰(zhàn)略或混合戰(zhàn)略）；
? 如果一個博弈存在兩個純戰(zhàn)略納什均衡，那么，一定存在第三個混合戰(zhàn)略納什均衡。如果有偶數(shù)個純納什均衡，那么必然至少存在一個混合納什均衡）
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