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前言

數學建模比賽是本科生和研究生階段最重要的比賽之一，包括全國大學生數學建模競賽（俗稱“國賽”）和美國大學生數學建模競賽（俗稱“美賽”）。在這些比賽中取得好成績，不僅有助于保研、有助于找工作，更重要的是形成科學的思維模式。以下是博主精心整理的兩個matlab專欄，包含入門到精通及實戰內容，需要的小伙伴可根據自己需求自行訂閱。

MATLAB-30天帶你從入門到精通

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MATLAB深入理解高級教程（附源碼）

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?01? 蒙特卡羅算法

1946 年，美國拉斯阿莫斯國家實驗室的三位科學家 JohnvonNeumann, Stan Ulam和 Nick Metropolis 共同發明了蒙特卡羅方法。

蒙特卡羅方法（Monte Carlo method），又稱隨機抽樣或統計模擬方法，是一種以概率統計理論為指導的一類非常重要的數值計算方法。此方法使用隨機數（或更常見的偽隨機數）來解決很多計算問題的方法。

由于傳統的經驗方法由于不能逼近真實的物理過程，很難得到滿意的結果，而蒙特卡羅方法由于能夠真實地模擬實際物理過程，故解決問題與實際非常符合，可以得到很圓滿的結果。

蒙特卡羅方法的基本原理及思想如下：

當所求解問題是某種隨機事件出現的概率，或者是某個隨機變量的期望值時，通過某種“實驗”的方法，以這種事件出現的頻率估計這一隨機事件的概率，或者得到這個隨機變量的某些數字特征，并將其作為問題的解。

舉個栗子，直觀了解蒙特卡洛方法：

假設我們要計算一個不規則圖形的面積，那么圖形的不規則程度和分析性計算（比如：積分）的復雜程度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么計算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均勻地朝這個圖形上撒，然后數這個圖形之中有多少顆豆子，這個豆子的數目就是圖形的面積。當你的豆子越小，撒的越多的時候，結果就越精確。在這里我們要假定豆子都在一個平面上，相互之間沒有重疊。

蒙特卡羅方法通過抓住事物運動的幾何數量和幾何特征，利用數學方法來加以模擬，即進行一種數字模擬實驗。它是以一個概率模型為基礎，按照這個模型所描繪的過程，通過模擬實驗的結果，作為問題的近似解。

蒙特卡羅方法與一般計算方法有很大區別，一般計算方法對于解決多維或因素復雜的問題非常困難，而蒙特卡羅方法對于解決這方面的問題卻比較簡單。其特點如下：

a、直接追蹤粒子，物理思路清晰，易于理解；

b、采用隨機抽樣的方法，較真切的模擬粒子輸運的過程，反映了統計漲落的規律；

c、不受系統多維、多因素等復雜性的限制，是解決復雜系統粒子輸運問題的好方法

等等

?02? 數據擬合、參數估計、插值等數據處理算法

我們通常會遇到大量的數據需要處理，而處理數據的關鍵就在于這些算法，通常使用 Matlab 作為工具。

數據擬合在數學建模比賽中中有應用，與圖形處理有關的問題很多與擬合有關系，一個例子就是 98 年數學建模美國賽 A 題，生物組織切片的三維插值處理，94 年 A 題逢山開路，山體海拔高度的插值計算，還有吵的沸沸揚揚可能會考的“非典”問題也要用到數據擬合算法，觀察數據的走向進行處理。

此類問題在 MATLAB 中有很多現成的函數可以調用，熟悉 MATLAB，這些方法都能游刃有余的用好。

?03?線性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類問題

數學建模競賽中很多問題都和數學規劃有關，可以說不少的模型都可以歸結為一組不等式作為約束條件、幾個函數表達式作為目標函數的問題。

遇到這類問題，求解就是關鍵了，比如 98 年 B 題，用很多不等式完全可以把問題刻畫清楚，因此列舉出規劃后用 Lindo、Lingo 等軟件來進行解決比較方便，所以還需要熟悉這兩個軟件。

?04? 圖論算法

這類問題算法有很多，包括：Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford，最大流，二分匹配等問題。

關于此類圖論算法，可參考 IntroductiontoAlgorithms--算法導論，關于圖算法的第22章-第26章。

?05? 動態規劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機算法

在數學建模競賽中，如：92 年 B 題用分枝定界法，97年 B 題是典型的動態規劃問題，此外 98 年 B 題體現了分治算法。

這方面問題和 ACM 程序設計競賽中的問題類似，推薦看一下算法導論，與《計算機算法設計與分析》（電子工業出版社）等與計算機算法有關的書。

?06? 最優化理論的三大經典算法：模擬退火法、神經網絡、遺傳算法

這十幾年來最優化理論有了飛速發展，模擬退火法、神經網絡、遺傳算法這三類算法發展很快。

在數學建模競賽中：比如 97 年 A 題的模擬退火算法，00 年 B 題的神經網絡分類算法，01 年 B 題這種難題也可以使用神經網絡。

還有美國競賽 89 年 A 題也和 BP 算法有關系，當時是 86 年剛提出 BP 算法，89 年就考了，說明賽題可能是當今前沿科技的抽象體現。

03 年 B 題伽馬刀問題也是目前研究的課題，目前算法最佳的是遺傳算法。

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?07? 網格算法和窮舉法

網格算法和窮舉法一樣，只是網格法是連續問題的窮舉。

比如要求在 N 個變量情況下的最優化問題，那么對這些變量可取的空間進行采點，比如在 [a;b] 區間內取 M+1 個點，那么這樣循環就需要進行 (M+1)N 次運算，所以計算量很大。

在數學建模競賽中：比如 97 年 A 題、99 年 B 題都可以用網格法搜索，這種方法最好在運算速度較快的計算機中進行，還有要用高級語言來做，最好不要用MATLAB 做網格，否則會算很久。

窮舉法大家都熟悉，自不用多說了。

?08?一些連續離散化方法

大部分物理問題的編程解決，都和這種方法有一定的聯系。物理問題是反映我們生活在一個連續的世界中，計算機只能處理離散的量，所以需要對連續量進行離散處理。

這種方法應用很廣，而且和上面的很多算法有關。事實上，網格算法、蒙特卡羅算法、模擬退火都用了這個思想。

?09?數值分析算法

數值分析（numericalanalysis），是數學的一個分支，主要研究連續數學（區別于離散數學）問題的算法。

如果在比賽中采用高級語言進行編程的話，那一些數值分析中常用的算法比如方程組求解、矩陣運算、函數積分等算法就需要額外編寫庫函數進行調用。

這類算法是針對高級語言而專門設的，如果你用的是 MATLAB、Mathematica，大可不必準備，因為像數值分析中有很多函數一般的數學軟件是具備的。

?10? 圖象處理算法

在數學建模競賽中：比如 01 年 A 題中需要你會讀 BMP 圖象、美國賽 98 年 A 題需要你知道三維插值計算，03 年 B 題要求更高，不但需要編程計算還要進行處理，而數模論文中也有很多圖片需要展示，因此圖象處理就是關鍵。做好這類問題，重要的是把 MATLAB 學好，特別是圖象處理的部分。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的还在为数学建模的事发愁？带你一起来看看数模竞赛中必备的经典算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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