稀疏矩陣的實現

什么是稀疏矩陣，怎么定義才是稀疏矩陣?假設在m x n的矩陣中，有t個不為0的元素。令z=t/(m x n),若z<=0.05則稱此矩陣為稀疏矩陣。由于稀疏矩陣的非0元素較少，所以如果用大容量存儲必定會造成內存浪費，因此只需存儲非0元素值即可，以下列出了常用的三種存儲稀疏矩陣的方法。

三元組順序表

三元組順序表的實現用順序存儲結構來實現。定義一個數組的結構體，存儲的是三元組（即由 3 部分數據組成的集合），組中數據分別表示（行標，列標，元素值）。結構體的實現如下：

//三元組結構體 typedef struct {int i,j;//行標i，列標jint data;//元素值 }triple; //矩陣的結構表示 typedef struct {triple data[number];//存儲該矩陣中所有非0元素的三元組int n,m,num;//n和m分別記錄矩陣的行數和列數，num記錄矩陣中所有的非0元素的個數 }TSMatrix;

如上圖所示即為依次再數組中插入的 三元表。具體實現過程如下所示：

#include <stdio.h> #define MAXSIZE 100 #define OK 1 #define ERROR 0 #define ELEMTYPE inttypedef struct {int i; //行int j; //列ELEMTYPE e; //元素 }Triple; typedef struct {Triple data[MAXSIZE+1];int mu, nu, tu; }TSmatrix; void display(TSmatrix *s); int main(void) {TSmatrix s;s.mu = 3;s.nu = 3;s.tu = 3;s.data[0].i = 3;s.data[0].j = 3;s.data[0].e = 6;s.data[1].i = 2;s.data[1].j = 3;s.data[1].e = 8;s.data[2].i = 2;s.data[2].j = 1;s.data[2].e = 4;display(&s);getchar();return 0; }void display(TSmatrix *s) {for (int i = 1; i <= s->mu; i++){for (int j = 1; j <= s->nu; j++){int value = 0; //用來判斷是否到了指定的（i,j）位置for (int k = 0; k < s->tu; k++)//遍歷數組中的三元表值{if (s->data[k].i == i && s->data[k].j == j) //若遍歷至指定（i,j）就打印元素值{value = 1;printf("%d ", s->data[k].e);break;}}if(value==0) //若不為三元表中存儲的值就打印0printf("%d ", 0);}printf("\n");} }

結果如上圖所示，檢查矩陣可知打印的位置是沒有問題的。
如上所示的方法能夠實現稀疏矩陣的存儲，但是在數據提取方面效率比較低，現在只是3x3的矩陣可能看不出來，但若是m和n都以千萬計的情況下稀疏矩陣中的非0元素個數近似于n，那么時間復雜度就會達到O（m x n xn），這將非常浪費時間。因此在此方法上改進有了下面的方法。

行邏輯鏈接的順序表

行邏輯鏈接順序表示基于上種方法的改進，在上面的基礎上再增加一個數組用來存儲用來用于存儲三元表的數組中每一行第一個非0元素的位置，這樣就無需遍歷整個三元表數組，只需要遍歷對應行的數據就可以了，大大提高了效率。


使用數組 rpos 記錄矩陣中每行第一個非 0 元素在一維數組中的存儲位置。遍歷的具體過程如下所示：
由 rpos 數組可知，第一行首個非 0 元素位于data[1]，因此在遍歷此行時，可以直接從第 data[1] 的位置開始，一直遍歷到下一行首個非 0 元素所在的位置（data[3]之前；
同樣遍歷第二行時，由 rpos 數組可知，此行首個非 0 元素位于 data[3]，因此可以直接從第 data[3] 開始，一直遍歷到下一行首個非 0 元素所在的位置（data[4]）之前；
遍歷第三行時，由 rpos 數組可知，此行首個非 0 元素位于 data[4]，由于這是矩陣的最后一行，因此一直遍歷到 rpos 數組結束即可（也就是 data[tu]，tu 指的是矩陣非 0 元素的總個數）。

#include <stdio.h> #define MAXSIZE 100 #define MAXSD 100 #define ELEMTYPE inttypedef struct {int i;int j;ELEMTYPE e; }Triple; typedef struct {Triple data[MAXSIZE];int rpos[MAXSD]; //定義rpos數組用于存儲每一行第一個非0元素int mu, nu, tu; }RLSmatrix; void display(RLSmatrix *s); int main(void) {RLSmatrix s;s.mu = 4;s.nu = 3;s.tu = 4;s.data[1].i = 1;s.data[1].j = 1;s.data[1].e = 3;s.data[2].i = 2;s.data[2].j = 2;s.data[2].e = 4;s.data[3].i = 3;s.data[3].j = 3;s.data[3].e = 6;s.data[4].i = 4;s.data[4].j = 3;s.data[4].e = 3;s.rpos[1] = 1;s.rpos[2] = 2;s.rpos[3] = 3;s.rpos[4] = 4;display(&s);getchar();return 0;}void display(RLSmatrix *s) {for (int i = 1; i <= s->mu; i++){for (int j = 1; j <= s->nu; j++){int value = 0;if(i+1<=s->mu) //假設一共i行則前面的i-1行遍歷對應行的元素{for (int k = s->rpos[i]; k < s->rpos[i + 1]; k++) //遍歷數組中對應行的非0元素即可{if (s->data[k].i == i && s->data[k].j == j) {value = 1;printf("%d ", s->data[k].e);break;}if (value == 0)printf("0 ");}}else //最后一行只需遍歷到最后一個非0元素即可{for (int k = s->rpos[i]; k <=s->tu; k++){if (s->data[k].i == i && s->data[k].j == j){value = 1;printf("%d ", s->data[k].e);break;}if (value == 0)printf("0 ");}}}printf("\n");} }

十字鏈表法存儲稀疏矩陣

上面兩種存儲方式用于固定存儲時可以很好的起作用，但是當要涉及非0元素的插入或者刪除的時候回引起元素值的移動，例如兩矩陣相加的操作，這種時候用鏈式存儲表示三元組更為恰當，該存儲方式采用的是 “鏈表+數組” 結構。


由上圖可以看到，非0元素用一個含有五個域的節點表示，兩個指針與分別用來指向同一列和同一行的元素。再用兩個存儲行鏈表和列鏈表的一維數組存儲這些鏈表。每一個非0元既是某行鏈表的一個節點，又是列鏈表的一個節點。整個矩陣構成了一個十字交叉的鏈表。

#include<stdio.h> #include<stdlib.h> typedef struct OLNode {int i, j, e; //矩陣三元組i代表行 j代表列 e代表當前位置的數據struct OLNode *right, *down; //指針域 右指針 下指針 }OLNode, *OLink; typedef struct {OLink *rhead, *chead; //行和列鏈表頭指針int mu, nu, tu; //矩陣的行數,列數和非零元的個數 }CrossList; CrossList CreateMatrix_OL(CrossList M); void display(CrossList M); int main() {CrossList M;M.rhead = NULL;M.chead = NULL;M = CreateMatrix_OL(M);printf("輸出矩陣M:\n");display(M);return 0; } CrossList CreateMatrix_OL(CrossList M) {int m, n, t;int i, j, e;OLNode *p, *q;printf("輸入矩陣的行數、列數和非0元素個數：");scanf("%d%d%d", &m, &n, &t);M.mu = m;M.nu = n;M.tu = t;if (!(M.rhead = (OLink*)malloc((m + 1) * sizeof(OLink))) || !(M.chead = (OLink*)malloc((n + 1) * sizeof(OLink)))){printf("初始化矩陣失敗");exit(0);}for (i = 1; i <= m; i++){M.rhead[i] = NULL;}for (j = 1; j <= n; j++){M.chead[j] = NULL;}for (scanf("%d%d%d", &i, &j, &e); 0 != i; scanf("%d%d%d", &i, &j, &e)) {if (!(p = (OLNode*)malloc(sizeof(OLNode)))){printf("初始化三元組失敗");exit(0);}p->i = i;p->j = j;p->e = e;//鏈接到行的指定位置if (NULL == M.rhead[i] || M.rhead[i]->j > j){p->right = M.rhead[i];M.rhead[i] = p;}else{for (q = M.rhead[i]; (q->right) && q->right->j < j; q = q->right);p->right = q->right;q->right = p;}//鏈接到列的指定位置if (NULL == M.chead[j] || M.chead[j]->i > i){p->down = M.chead[j];M.chead[j] = p;}else{for (q = M.chead[j]; (q->down) && q->down->i < i; q = q->down);p->down = q->down;q->down = p;}}return M; } void display(CrossList M) {for (int i = 1; i <= M.nu; i++){if (NULL != M.chead[i]){OLink p = M.chead[i];while (NULL != p){printf("%d\t%d\t%d\n", p->i, p->j, p->e);p = p->down;}}} }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构 稀疏矩阵的实现方法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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