編者按：避障問題是AGV行駛過程中的一個重點，尤其是在未知和非結構化的環境中，沒有關于環境的先驗知識以及準確的車輛模型參數，難以充分發揮車輛的性能。作者在以前工作中，提出了在未知和非結構化環境中基于非線性模型預測控制的AGV避障算法，車輛模型用于預測和優化未來的動作，通過同時控制縱向速度和轉角實現避障動作，但是車輛模型非常依賴車輛以及輪胎參數。本文中重點研究參數不確定性對上述避障算法的影響，提出一種雙重最壞情況公式，滿足車輛高速避障兩個安全要求：無碰撞和無車輪提升。采用基于場景的方法，提出兩種最壞情況場景，用于檢查各種情況與該場景相關約束的滿足度，最小化了約束數量以確保魯棒性，本文還量化了算法魯棒性和任務完成性能之間的權衡。

本文摘自?Vehicle System Dynamics?

原文題目：

"Improving the robustness of an MPC-based obstacle avoidance algorithm to parametric uncertainty using worst-case scenarios"

原作者：

Jiechao Liu, Paramsothy Jayakumar, Jeffrey L. Stein & Tulga Ersal?

作者單位：

Department of Mechanical Engineering, University of Michigan, Ann Arbor, MI, USA

摘要：作者以前的工作重點是在未知和非結構化環境中的大型高速自主地面車輛中避障。這項工作提出了一種基于非線性模型預測控制的算法，同時優化了速度和轉向命令。該算法可以利用車輛的動態極限盡可能快地將其導航到目標位置而不損害安全性。在該算法中，車輛的模型被顯式地用于預測和優化未來的動作，但是在實踐中，模型參數值并不準確。因此，本文評估了算法對參數不確定性的魯棒性。在考慮參數不確定性分布24%的評估場景中，首次證明了在算法中使用標稱參數值會導致安全問題。為了提高算法的魯棒性，提出了一種新的雙重最壞情況公式，同時滿足高速避障的無碰撞和無車輪提升兩種安全要求。對分層隨機和最壞情況的仿真結果表明，雙最壞情況公式使算法對所有測試的不確定性實現具有魯棒性。本文還量化了魯棒性和任務完成性能之間的權衡。

關鍵詞:?自主地面車輛;碰撞避免;車輛動力學;模型預測控制;參數不確定性;魯棒性

1

前言

自動地面車輛(AGV)不僅能有效減少事故和改善民用應用的機動性，而且在軍事應用中也能提高人員安全和任務完成性能。實現AGV的全部潛力依賴于許多算法的開發和成功部署，包括避障。

障礙避免是指基于傳感器測量和/或環境的先驗地圖生成控制命令以安全地圍繞障礙物導航車輛的任務。在文獻中已經針對不同的AGV平臺和應用開發了許多避障算法，例如[1-8]。

與大多數先前的工作不同，本文感興趣的背景是在未知和非結構化環境中的大型高速AGV中避免障礙。這種背景是由軍事應用推動的，其中高速機動是安全和任務完成性能方面的關鍵需求。然而，對于高速大型車輛，避障操縱可以引起穩定性或操縱問題，例如過度的側滑，車輪抬起或甚至翻車。請注意，術語“高速”用于地面機器人的操作速度，地面機器人的操作速度約為2米/秒 。特別是，如果速度高于5米/秒(11英里/小時)，在這項工作中被認為是高速。超越這種速度，車輛動力學開始在車輛的機動性中發揮重要作用，將這些動態納入路徑規劃是我們背景下的關鍵要求之一。為此，需要避障算法，該算法可以利用車輛動力學來最大化任務完成性能，同時保證AGV的安全性[9]。

具體而言，在這項工作中，平坦地形上的典型軍用卡車被視為代表性的大型AGV。它的任務是盡可能安全地從初始位置移動到給定目標位置。因此，如果需要，希望AGV高速運行并接近其動態極限。環境是非結構化的，這意味著沒有要遵循的通道或交通規則。另外，在初始位置和目標位置之間存在障礙。它們的位置，大小和形狀是先驗未知的，但是當它們處于平面光檢測和測距(LIDAR)傳感器的范圍內時被檢測到。

作者以前的工作考慮了這個問題，并描述了未知和非結構化環境中AGV的避障算法[10-12]。該算法基于非線性模型預測控制(MPC)公式。該算法的新穎之處在于其能夠控制車輛以避免靜止障礙物并盡可能快地導航到目標位置，同時考慮動態安全約束。參考縱向速度和轉向控制命令被同時優化，而沒有關于環境的先驗知識并且沒有要遵循的參考軌跡。在算法中，AGV的模型被顯式地用于預測和優化未來的動作。該模型依賴于多個車輛和輪胎參數值。仿真結果表明，當MPC中使用的參數值為準確的時，該算法能夠安全利用車輛在不同大小和數量的感測障礙物周圍行駛時的動態極限[11]。

本文的目的是研究參數不確定性對上述避障算法的影響，提高算法的魯棒性。[11]中使用的參數值被認為是準確的，但實際上，它們是不確定的。這種不確定性會影響避障算法的有效性和任務完成性能。更具體地說，參數不確定性表示參數的值是恒定但未知的。然而，參數值的概率分布或界限是先驗已知的[13]。這種避障算法對參數不確定性的魯棒性以及如何改進它是文獻中尚未解決的研究問題。因此，它們是本文的重點。

文獻[14-16]提出了許多方法來通過考慮魯棒性或隨機MPC公式中給定的不確定性分布來提高MPC算法的魯棒性。這些方法已應用于自動駕駛和車輛主動安全[17]。也有處理一般加法不確定性的算法，可將其近似為加法不確定性應用于參數不確定性。這些算法分為以下三種通用方法：(i)基于開環最小 - 最大優化的方法，其中考慮了對所有可能的不確定性實現的約束的滿足，例如[18]；(ii)基于輔助控制器的方法，其中使用強制反饋控制動作來確保實際狀態軌跡不會偏離超出指定界限的前饋軌跡，例如[19,20]；(iii)基于情景的方法，通過在大量不確定性樣本中對機會約束進行評估，將機會約束轉化為確定性對應物，例如[21]；在該方法中，場景表示不確定性分布的特定實現或樣本。本文也采用了相同的術語。

來自前兩種方法的大多數算法(分析魯棒或隨機MPC算法)僅限于線性系統和高斯分布。這種限制是為了便于在預測范圍內傳播不確定系統狀態和/或計算不變管和輔助控制器增益。然而，作者以前的工作已經得出結論，模型非線性對于應用興趣至關重要[10,12]。雖然模型非線性的迭代在線線性化是可能的[22]，線性化模型只有在一個小的區域周圍的參考狀態和輸入向量的線性化是良好的近似。因為不存在參考軌跡，為了避免在非結構化環境中避免障礙，找到最佳路徑也是除了避開障礙物之外的任務的一部分。這需要相對較長的預測范圍來實現在可能明顯偏離“當前”方向的方向上成功導航[11]。因此，小區域假設可能不成立。

與前兩個類別相比，基于場景的方法可以應用于任何類型的模型和不確定性分布，只要評估足夠數量的隨機樣本即可。然而，主要缺點是問題規模隨著不確定參數的數量和這些參數可能采用的值范圍呈指數增長[23]。

除了考慮一般加性不確定性的文獻外，一些研究工作特別關注參數不確定性。例如，Walton[13]將不確定參數視為優化變量。然后，她使用成本函數，將原始成本乘以參數范圍內的概率密度函數，以說明不確定性。然而，該應用僅限于最優控制問題(OCP)的成本函數和動態模型約束中的參數不確定性，包括路徑約束中的參數不確定性。Xiong[24]等人通過多項式混沌展開法將原始隨機軌跡優化問題轉換為擴展的高維狀態空間中的等效確定性問題?？梢允褂么朔椒ㄌ幚砺窂郊s束。但是，擴展確定性狀態方程中的狀態數n_s 等于原始狀態數n_r，此外，狀態擴展系數的總數是，n_e?是未知參數的數量，n_p?是多項式混沌擴展的階數[25]。該數字隨著多項式階數和位置參數的數量迅速增長。因此，由于大量參數，該方法不適用于本文的問題。因此，處理參數不確定性的現有方法不容易適用于我們感興趣的問題，其包括非線性動力學模型，非線性路徑約束和大量參數。

因此，本文提出了一種新的方法來提高避障算法對參數不確定性的魯棒性。特別是，給出一種雙重最壞情況公式，可以滿足AGV中高速避障的兩個安全要求：無碰撞和無車輪提升。與基于場景的方法類似，所提出的方法還使得MPC算法中的OCP公式中的約束在所有考慮的場景中都是安全的。但是，不考慮使用數百個隨機生成的場景，而是僅考慮兩個場景，這兩個場景是與此工作中確定的兩種類型的不安全場景相對應的兩種最可能的最壞情況場景。此外，不是應用所有場景來檢查所有約束，每種最可能的最壞情況僅用于檢查與該場景相關的約束的滿足度。這種改進有助于最小化改進的OCP策略中的約束數量以確保魯棒性。結果表明，盡管不能保證參數不確定性分布的所有可能實現，由于最壞情況的非唯一性和本工作中使用的近似，所提出的公式提高了算法的魯棒性。本文還量化了基于MPC的避障算法的魯棒性和任務完成性能之間的權衡。

本文的其余部分安排如下。第2節概述了開發的基于MPC的避障算法，并列出了所有考慮參數的標稱值和相關的不確定性水平。第3節介紹了對參數不確定性的魯棒性評估結果。第4節介紹了通過考慮最壞情況來提高穩健性的新策略。第5節顯示并討論了模擬結果。結論見第6節。

2

基于MPC的避障算法

圖1顯示了AGV處于閉環狀態的非線性MPC算法的示意圖。在這個基于模擬的研究中，AGV使用14自由度(DoF)車輛動力學模型來表示[26]。在基于MPC的避障算法中，多相OCP被制定為在LIDAR傳感器的檢測范圍內優化參考縱向速度和轉向控制命令。該算法可以通過受到各種約束的平滑控制命令盡可能快地導航車輛，例如加速度限制，轉向限制和安全操縱區域。

圖1 基于MPC的避障算法的示意圖

在MPC的每個步驟，建立并求解一個或多個多相OCP以同時優化轉向角和參考速度曲線。一般形式的避障的最優控制問題的公式由公式(1)-(10)給出。

通過最小化等式(1)中指定的成本函數，受制于所有階段的等式(2)-(8)中定義的約束，以及等式(9)-(10)中針對預測的初始點和結束點定義的約束，最佳狀態軌跡，最優控制軌跡，時間T?^i? 包含從一個子區域到下一個子區域的轉換，其中N是階段的總數; 即給定序列中的子區域的數量。特別地，成本函數等式(1)包括兩個部分，即終端成本和被積函數的積分成本。等式(2)是車輛動力學模型。等式(3)和(4)分別指定狀態和控制變量的界限。等式(5)定義了動態安全約束，等式(6)規定了避免障礙物的位置約束。等式(7)和(8)分別確保狀態變量的連續性和不同階段之間的時間。等式(9)稱為終端約束，它限制狀態變量的初始值和最終值。等式(10)指定預測時間的范圍，預測時間也是要優化的變量。該配方的詳細說明見[ 11 ]由于篇幅考慮而在本文中省略。

AGV的模型包含在OCP公式中，以預測和優化其在預測范圍內的行為。特別地，使用三個DoF單軌非線性車輛模型，其考慮縱向載荷傳遞和輪胎非線性[11]。Pacejka Magic Formula輪胎模型[27] 用于預測橫向力作為相應輪胎垂直載荷和側偏角的函數。在這項工作中，通過將所有四個輪胎上的載荷限制在總是高于正的最小閾值，直接考慮無輪提升要求。具有經驗估計的載荷傳遞系數的方程用于通過考慮車輛的縱向和橫向載荷傳遞來預測輪胎垂直載荷[28]。

表1總結了非線性MPC模型中使用的參數列表和相關的不確定性水平。假設不確定性分布是獨立的，并且遵循給定上限和下限的均勻分布。特別地，假設質量和慣性項具有±10%的不確定性，重心(CoG)位置測量有±20%的不確定性，并且輪胎參數有±30%的不確定性?；跍y量參數值的難度估計不確定性水平。通常，輪胎模型中使用的參數值比車輛參數更不確定，尤其是在非結構化環境中，其通常是越野的。與質量和慣性測量相比，車輛重心位置測量具有更大的不確定性，因為重心位置可以容易地移動。假設與兩個軸之間的距離相關的不確定性L_V?，和輪胎半徑R_t可以忽略不計，因為它們可以輕松直接地測量。質量和慣性的不確定性范圍可能包括由于燃料消耗引起的微小變化，但不考慮大的變化(例如由于額外的有效載荷)。以下部分中給出的結果基于參數標稱值和不確定性水平的這些假設。當做出不同的假設時，特定的數值結果(例如，失效情景的百分比)可能不成立，但仍然可以應用相同的方法。

表1? MPC模型中使用的參數列表

3

評估參數不確定性的魯棒性

在我們之前的工作中，假設沒有參數不確定性。因此，MPC模型中使用的參數值是表1中列出的標稱值 。這些標稱值也用于14DoF模型，然后用于證明避障算法在閉環模擬中的有效性。當存在參數不確定性時，有必要在使用標稱參數值時首先評估算法的魯棒性。MPC框架由于反饋和重新規劃而具有固有的魯棒性。因此，MPC算法可能已經對上面考慮的參數不確定性具有魯棒性，并且不需要額外的策略。為了執行該任務，進行閉環仿真，其中每個仿真使用從參數不確定性分布采樣的車輛模型中的不同參數值集。另一方面，MPC模型參數在模擬中都保存在標稱值中。

由于有12個具有不確定性的參數，因此需要對參數值進行適當的采樣，以便用有限數量的模擬來覆蓋大部分參數不確定性域。特別是，拉丁超立方體設計(LHD)用于從多維分布中生成易處理的參數值近似隨機樣本集合[29]。LHD是這樣執行的，每一個n_d維度被劃分為n_l?等水平，在每個水平只有一個樣本。隨機過程用于確定樣本位置。具體地說，對于這個問題，有12個維度，每個維度被分成50個相等的級別。本文中使用的LHD經過優化，具有良好的空間填充質量和樣品之間的低相關性[30]。因此，獲得50組參數值，換句話說，50個場景。

由于避障的安全要求有兩個，即無碰撞和無車輪提升，兩個明顯的安全問題是碰撞和車輪提升，這些都是嚴重違反安全要求的。此外，安全邊際包含在OCP的約束公式中。違反這些限制的場景，即在沒有碰撞或車輪升空的情況下進入安全邊緣，是違規行為。在基于仿真的魯棒性研究中，硬性和軟性違規都被認為是不可接受的。換句話說，當到障礙物或輪胎垂直載荷的距離小于相應的安全裕度時，AGV被認為是不安全的。AGV在這些模擬中的任務是從其起始位置移動并從指定方向穿過給定目標位置。從而，任務完成定義為在最終目標位置移動并沿指定方向前進。因此，安全和任務完成都很重要。當AGV從與指定值相比具有大于或等于10度差異的不同方向穿過目標位置時，即使沒有任何安全違規，也將其視為失敗。

圖2顯示了50個場景的模擬結果，其中障礙物圖由兩個障礙物組成。在該測試中，最終航向角必須與初始航向方向相同?？傊?#xff0c;50個場景中的38個場景中的AGV成功完成任務，沒有任何軟或硬違規安全要求，如圖 2(a，b)所示。其余12個情景導致硬性或軟性違規。如圖2(c,d)所示，在10種情況下觀察到軟違規。所有軟違規都違反了最小垂直負載閾值，沒有觀察到違反到障礙物閾值的最小距離。這10種情況中的一種會導致軌跡非常接近障礙物，然后減速以避免碰撞，這將導致明顯不同的、更長的路徑。此外，由于沒有滿足最終的航向角要求，此場景無法成功完成任務。在兩個場景中觀察到硬違規。由于觀察到如圖2(e,f)所示的車輪提升，這些模擬在AGV到達目標位置之前就終止了。因此，該算法對假設的參數不確定性分布不具有很強的魯棒性。24%的測試場景違反了安全要求。

圖2 使用具有標稱參數值的避障算法的LHD場景的閉環仿真結果。(a)38個沒有安全問題的情景的軌跡剖面; (b)38個情景的最小垂直載荷剖面圖，沒有安全問題; (c)違反垂直載荷閾值的10種情景的軌跡剖面; (d)違反垂直載荷閾值的10種情景的最小垂直載荷剖面; (e)單輪提升的兩種情況的軌跡輪廓。(f)兩個方案的最小垂直載荷曲線，單輪提升。

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提高參數不確定性的魯棒性

本文提出了一種新的方法來提高避障算法對參數不確定性的魯棒性。如第1節所述，基于場景的方法可以應用于非線性動力學模型所考慮的問題。然而，因為MPC模型具有大量參數，所以需要數百個隨機生成的場景來提供機會約束的相對高置信水平，這在計算上是難以處理的。為了克服這一挑戰，開發了一種雙重最壞情況的策略。執行具有各種場景的系統離線模擬以識別將導致主動約束的場景。因此，計算負擔被離線轉移。因此，在提出的魯棒性公式中僅考慮兩種情況。它們是兩種最可能的最壞情況，與AGV中的高速避障的兩個安全要求相對應：無碰撞和無車輪提升。每個場景僅用于檢查相應約束的滿足，而不是應用兩個場景來檢查所有約束。這種改進用于減少增強OCP配方中的約束數量以確保魯棒性。

在4.1節中，確定了兩種類型的不安全情景。使用度量來定性地表征它們中的每一個，度量是AGV狀態變量的函數。第4.2節介紹了獲得兩種最可能出現的最壞情況的過程。為了驗證獲得的最可能的最壞情況并且識別與最可能的最壞情況場景明顯不同的最不可能的最壞情況場景，進行進一步的開環仿真。結果見4.3節。通過獲得最可能的最壞情況和不太可能的最壞情況，第4.4節介紹了兩種雙重最壞情況的公式。

4.1不安全的情況

為了給出最壞情況的定義，首先定義了不安全的場景。如果具有特定情景的閉環結果揭示安全問題，即軟違規或硬違規，則該情景被認為是不安全的。然而，場景是否不安全的理由取決于障礙場以及MPC算法中使用的車輛模型和參數值。這是因為具有該場景的AGV的控制命令是由算法響應于給定的障礙場而生成的。然而，由于無限多種可能性，試圖列舉所有可能的障礙場將是徒勞的。因此，為了使最壞情況的分析易于處理，我們使用恒定轉向恒定加速度運動產生的開環仿真結果。這些操作可被視為更一般控制命令的主題。換句話說，對于任何障礙場，由算法在給定步驟產生的控制命令可以通過該組中的一個操縱來近似。因此，這種開環方法從分析中消除了策略和障礙場的特殊性。因此，減少了分析中要考慮的相互依賴性的數量。換句話說，開環分析使我們只關注與本文目標一致的參數不確定性。這種開環方法從分析中消除了配方和障礙場的特殊性。因此，減少了分析中要考慮的相互依賴性的數量。

對應于圖2(c-f)中所示的閉環仿真結果的場景是所考慮的障礙場和使用標稱參數值的MPC算法的不安全場景。使用這些不安全情況的兩個典型恒定轉向恒定加速運動的開環仿真結果如圖3所示。這些結果有助于根據車輛響應分析不安全情景的特征。圖 3(a-c)是具有恒定加速度的結果; 和圖3(d-f)是具有恒定減速度的結果。選擇這兩個操縱是因為縱向加速度顯著影響縱向載荷傳遞和車輛對轉向的靈敏度。? ? ? ? ?

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圖3.相應的開環仿真結果，其中閉環仿真中的不安全情景與標稱情景的結果進行了比較。(a)輪胎垂直載荷剖面：加速度; (b)軌跡輪廓：加速度; (c)軌跡輪廓(放大視圖)：加速度;(d)輪胎垂直載荷輪廓：減速; (e)軌跡輪廓：減速; (f)軌跡輪廓(放大視圖)：減速。

如圖3所示(a，d)，在12個開環結果中有11個出現不安全情景時，預測的輪胎垂直載荷值幾乎總是小于預測范圍內標稱情景預測的值。由于垂直載荷值預測之間的差異，即使MPC算法生成的標稱參數值的控制命令滿足OCP公式中的動態安全約束，具有這些情形的AGV仍會遇到違反最小輪胎垂直的情況執行控制命令后，加載閾值或甚至車輪提升。因此，第一類不安全情景的特征在于輪胎垂直載荷值。由于垂直載荷曲線是定時的數據序列，因此最小輪胎垂直載荷值用作評估度量。值越小意味著不安全的可能性越大。作為示例，具有用于輪胎垂直載荷預測的給定控制命令的標稱方案的度量值是，這是圖4(a)中圓圈所示的值。

圖4.使用名義場景和控制命令舉例說明的評估指標的定義：。?(a)最小輪胎垂直載荷是用于評估輪胎垂直載荷預測的度量; (b)軌跡下的面積是用于表征軌跡“剛度”的度量。

對于不屬于前一種類型的一種情況，其軌跡是12種情景中的“最硬”，如圖3所示(b，e)。換句話說，具有這種情況的AGV不能像使用相同控制命令的標稱情況一樣變得尖銳。因此，由MPC模型產生的具有標稱參數值的轉向命令不足以使AGV遠離障礙物足夠早地駕駛AGV。因此，由于缺乏足夠的轉彎，AGV非常接近障礙物，這導致需要大的校正努力和顯著的迂回，并導致不能完成任務。對于不同的障礙場，可能違反最小距離到障礙物閾值甚至碰撞。因此，第二類不安全情景的特征在于軌跡“剛度”，其定義為軌跡輪廓下的面積。度量值越小，軌跡越“僵硬”。舉個例子, 這是圖4(b)中陰影區域。

總之，所識別的兩種類型的不安全場景被命名為小型垂直載荷類型和“剛性”軌跡類型。請注意，這兩種類型的不安全場景是截然不同的; 如圖3中的結果所示，小的垂直載荷場景不是“硬的”軌跡場景，反之亦然。

4.2 最可能是最壞的情況

對于每種類型的不安全場景，導致最小度量值的場景是特定運動的最壞情況。確定最壞情況是至關重要的，因為如果最壞情況可以保證安全，那么所有其他方案也是安全的。由于模型非線性，很難(如果不是不可能的話)分析地獲得最可能的最壞情況; 因此，使用數值方法。本節介紹了用于獲取每種不安全情景的最可能最壞情況的統計方法。

因為有12個參數，所以由于大量組合，參數之間的相互作用被忽略。有關此假設的更多討論可在本節后面部分找到。使用離線開環仿真結果獨立地研究每個參數值對度量的影響。一組恒定轉向恒定加速度操縱用于評估。考慮轉向角，加速度和初始速度值的不同組合。

因此，該選擇的方案基于車輛控制命令的固定網格采樣。使用這種方案的主要原因是它是系統的和計算上易處理的。這是系統性的，因為該組操縱以詳盡的方式覆蓋AGV的整個操作空間，直到所考慮的網格的分辨率。就計算負荷而言，需要這種方法以便于調整網格間隔以在精度和計算需求之間達到平衡。這種確定性方法的替代方案是隨機方案。一種選擇是生成隨機障礙場并執行閉環仿真。然而，這需要大量的計算資源才能得出任何統計上有意義的結論并且是不可行的。另一種選擇是隨機生成開環機動。使用該方案的困難在于確定確保滿意地覆蓋整個操作空間所需的模擬次數。

在這種情況下，術語最可能是最壞情況用于指代導致大多數考慮的操作的最小度量值的場景，這是我們對基于有限集的實際最壞情況場景的最佳猜測。請注意，這個術語的使用并不意味著所獲得的場景是所有可能場景中最有可能的一個。相反，它是在考慮的場景中最有可能的一個，并從統計上得到。

表2列出了為每個命令考慮的值序列。使用圖5中所示的初始速度和加速度對，其中在2秒的模擬中消除了產生小于5m/s或大于29m/s的速度對。使用這兩種限速是因為速度低于5m/s不構成任何挑戰，車輛的最高速度為29m/s。對于每一對，考慮表2中指定的轉向角值序列。

圖5 用于獲得最壞情況的參數化評估操作中使用的成對縱向速度和加速度命令

表2 參數化評估操作中使用的命令的值

對每一個N_p，考慮N_v?的值在不確定范圍[v_{min,I ,?}v_max,i ]之內，其中i是參數的索引。換句話說，評估場景N_v?，其中只有一個參數值是變化的，其他參數值保持在它們的參考值。初始參考值是標稱參數值。對于每種類型的不安全場景，在使用初始參考值獲得最可能出現的最壞情況后，重復算法1將最可能出現的最壞情況更新為最可能出現的最壞情況，而之前最可能出現的最壞情況則更新為新的參考值。如果更新的最可能最壞的情況與前一個相同，那么最可能最壞的情況就確定下來了。否則，算法1將再次重復，以更新的最壞情況作為新的參考值，直到收斂為止。

在算法1中，對于每個考慮的參數，針對模擬車輛模型為N_v?場景和N_m?操縱的所有組合生成兩個矩陣。第一個I_safe?記錄所考慮場景中的操作是否安全。第二個記錄根據車輛響應計算的度量值。這兩個矩陣的大小都是N_m?×N_v 。只有當操縱對所有考慮的情況都是安全的時，才使用相應的度量值來確定最可能出現的最壞情況。例如，圖6(a)說明了參數h_CG 在1127個操縱下彈道軌跡度量值的影響，其中關系都是單調的，近似線性。每條線對應一個動作。將顯示標準化度量，其中每一行的中值設置為0。利用這些結果，得到了產生最小度量值的參數的值。然而，這一價值并不獨特，因為它取決于操作。在本例中，在1127次機動中，有333次(約30%)使用h_CG?的下界值來獲得最小的度量值。對于剩余的794個操作，它是通過上限值實現的。圖6(b)顯示了操作空間的投影視圖所對應的操作。一般來說，當AGV加速時，較大的h_CG?值會導致更硬的軌跡。此外，還觀察到，度量值的變化范圍也取決于操縱。當h_CG?值較大時，更硬軌跡的最大變化范圍為18.9,h_CG?值較小時，最硬軌跡的最大變化范圍為6.3。在考慮機動次數和最大偏差范圍的基礎上，得出h_CG?的上界值在最可能最硬軌跡的參數值集中。

圖6 ?評價h_CG?值和其它參數對彈道剛度度量值的影響。(a)在各種評估機動情況下，正規化軌道剛度度量值與h_CG值的變化;(b)控制命令對彈道剛度度量值與h_CG值關系的影響

對于所考慮的車輛模型和參數不確定性分布，在重復算法1 兩到三次后，每種類型的最壞情況最可能收斂。圖7總結了算法最后一次運行時各參數對軌跡剛度和垂直荷載指標的影響。在每個圖中，頂部的子圖顯示了導致參數值和度量值之間的單調遞增關系(Nin/Nin + Nde + Not)、單調遞減關系(Nde/Nin + Nde +Not)和非單調關系(Not/Nin + Nde + Not)的機動百分比。每個關系(Rin、Rde和Rot)的度量值的最大偏差范圍總結在第二個子圖中。最后一個子圖通過引入投票度量N·R并將其標準化，從而將上述信息組合在一起，使每個參數的最大投票度量為1。然后使用投票度量值來確定每種類型中最可能出現的最壞情況。對于每個參數，如果單調增加關系的投票度量是最大的，則參數下限值在最可能最壞情況的參數值集合中，而如果單調遞減關系的投票度量是最大的，參數上限值在集合中。然而，如果非單調關系具有最大的投票度量值，則需要對結果進行更詳細的討論，如下所示。

圖7.使用條形圖對所有參數對預測指標的影響摘要。(a)軌跡預測; (b)垂直載荷預測。

對于軌跡預測，如圖? 7(a)所示，除了參數h_CG?已經在上面詳細討論過，其他參數對軌跡剛度度量的影響幾乎與操作無關。因此，可以直接根據結果匯總最“可能”最壞情況的“最強”軌跡，如表 3所示。

表3.名義場景的參數值和最可能的最壞情況場景

對于垂直載荷預測，操作的影響較大，但仍存在主要趨勢，如圖7(b)所示。需要更詳細討論的兩個參數是L_f? 和P_d。對于超過一半的操作，垂直負荷指標不會隨著兩個參數的參數值單調變化。然而，在356次操縱中有309次(約87%)，L_f??的下界值導致垂直載荷最小。在355次操縱中有308次(約87%)，P_d 的上限值越高，垂直載荷測量值越小。因此，確定L_f??的下界值和P_d?的上界值都在最可能出現最小垂直荷載情況的參數集中。通過投票度量值和對算法1的詳細結果的進一步分析，確定了垂直荷載最小時最可能出現的最壞情況，如表3所示。

此過程的目標是使用系統方法來獲得對最壞情況的最佳猜測。由于參數眾多，在精度和計算量之間存在權衡。因此，我們選擇了固定網格采樣方法，每次只考慮一個參數。用這種方法，計算時間是有限的。因此，盡管問題的維數很大，分析的優點是它在計算上是容易處理的。分析的不足之處在于缺少對參數共變的考慮，而參數共變對結論的影響可能是顯著的，也可能是不顯著的。探索這種共變的重要性仍然是一個有待研究的問題。一個可選的方案是使用蒙特卡羅方法，它隨機地探索搜索空間，如果確定足夠數量的模擬的挑戰可以解決，并且結果的數量在計算上是可行的。

此外，還發現轉向角命令對軌跡預測和垂直負荷預測的度量值沒有顯著影響。對于軌跡預測，由于h_CG?只在加速度過程中呈單調遞減，因此最可能出現的最壞情況是只有正加速度指令的實際最壞情況。對于垂直負荷預測，確定最可能出現的最壞情況是實際的最壞情況，這要復雜得多。除L_f??外，_?P_k??和P_k,z 是兩個最重要的偏差范圍參數。垂直荷載度量值相對于控制命令的參數值的單調性如圖8所示。據觀察，最可能出現的最壞情況并不是從高初始速度開始的高減速操縱的實際最壞情況。因此，以下三組控制命令用于以下開環仿真，包括加速、中減速和硬減速動作。這三次演習的初始速度是相同的。選擇轉向命令使最小的垂直載荷大致相同。

圖8 垂直負載度量值相對于作為控制命令函數的參數值的單調性

4.3?開環仿真結果，不太可能出現的最壞情況

使用算法1，不考慮參數之間的交互效果。雖然算法重復多次以考慮交互效果，但它僅在有限的意義上這樣做。因此，為了驗證獲得的最可能的最壞情況場景，使用第3節中使用的LHD場景以及包含所有參數的上限或下限的所有場景來執行開環模擬。后一組結果也可用于識別與最可能的最壞情況明顯不同的最不可能的最壞情況。

在圖 9和 10中，使用表3中列出的情景? 的開環仿真結果繪制在具有LHD情景的開環仿真結果之上。來自LHD場景的所有軌跡比最可能的“最強”軌跡場景中的軌跡更“靈活”。來自所有LHD場景的最小垂直載荷也大于最可能的最小垂直載荷場景中的值。然而，當使用不同的初始狀態值組時，如圖10(c)所示，最小的垂直負載情況可能并不總是最壞的，具有硬減速。

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圖9.開放式仿真結果的軌跡曲線與標稱情景，獲得的最可能的最壞情況和LHD情景。(a)操作A; (b)操作B; (c)操作C.

圖10 對垂直荷載分布的開環仿真結果與標稱方案、得到的最可能最壞情況和LHD方案進行了比較(a)操作A; (b)操作B; (c)操作C.

如圖7所示，參數值和度量值之間的大多數關系是單調的。即使它們不是，最小的度量值幾乎總是用參數值的上限或下限來實現。為了利用這種觀察，然后通過假設每個參數只能采用兩個值(上限值和下限值)來執行另一組開環模擬。因此，考慮2¹²=4096種方案，結果顯示在圖11和12中。

圖11 開環仿真結果的軌跡曲線，包括標稱情景，最可能獲得的最壞情況，以及參數下限值和上限值的所有組合。(a)操作A; (b)操作B; (c)操作C.

圖12 開環仿真結果的垂直負載曲線，其中包括標稱情景，獲得的最可能的最壞情況，以及參數下限值和上限值的所有組合。(a)操作A; (b)操作B; (c)操作C.

據觀察，當AGV加速時，這兩種最可能的最壞情況是所有考慮的情景中的實際最壞情況。然而，當AGV減速時，它們不一定是實際的最壞情況，并且隨著減速度的增加，差異變大。對于軌跡預測，使用下限值實現最小度量值用于減速機動。但是，h_CG?上限值用于最可能的最壞情況。因此，存在更糟糕的情況，如圖? 11(c)所示。因為效果如圖7(a)的第二子圖所示，在軌跡預測僅排在第6位，??從最可能的最壞情況場景和實際最壞情況場景的軌跡之間的差異很小并且可以忽略。為了證實這種推斷，表4列出了軌跡預測的最壞情況不太可能，??并在下一節中用于閉環仿真。

表4 不太可能的最壞情況的參數值(粗體字表示與表3中列出的相應方案的差異)

對于垂直載荷預測，加速度和適度減速度，最可能的最壞情況是實際最壞情況，如圖 12(a，b)所示。但是，它沒有硬減速，如圖 12(c)所示。如果由導致最小度量值的場景生成的垂直負載分布是沿整個模擬范圍的垂直負載的下限，則將是有益的。然而，這種情況并非如此; 下限由多個場景的結果組成，如圖 13(b，c)所示。這些情景被認為是垂直負荷預測的最不可能的最壞情況，并列于表4中。

圖13 開環仿真結果的垂直負載曲線，其中垂直負載預測的最可能和最不可能的最壞情況以及參數下限值和上限值的所有組合。(a)操作A; (b)操作B; (c)操作C.

4.4?魯棒性的最優控制問題公式

為了提高避障算法的魯棒性，考慮了兩種方法。第一種方法使策略保持原樣，并使用MPC公式中兩種最可能的最壞情況中的任何一種。第二種方法同時考慮兩種類型的最壞情況，稱為雙重最壞情況公式。在本文中，提出了兩種雙重最壞情況的配方。第一種情況僅考慮兩種最可能的最壞情況，并且每種情況都用于僅檢查相關約束。第二個也考慮了最不可能出現的最壞情況場景，除了兩個最可能的最壞情況之外，在策略中沒有引入額外的場景。

4.4.1?原始公式

由于MPC框架固有的魯棒性，具有名義情景的原始公式(稱為MPC0)可以在一定程度上容忍參數不確定性。圖2中顯示的結果? 用作評估有效性的基準，并研究在提高參數不確定性的魯棒性方面的權衡。

另外兩個也被考慮的MPC實現是具有最可能“最強”軌跡情景(MPC1)的原始公式，或者具有最可能最小垂直負載情形(MPC2)的原始公式。這兩種實現不會增加OCP公式的復雜性，只會改變MPC模型中使用的參數值。術語“最強”的軌跡場景用于指出基于軌跡“剛度”的最可能的最壞情況。類似地使用術語最可能的最小垂直載荷場景。

4.4.2 雙重最壞情況配方

第一個雙重最壞情況公式(MPC3)同時考慮兩個最可能的最壞情況，并且每個都用于僅檢查相關約束，這需要增加原始OCP公式。增強的MPC模型由等式(11)-(22)指定。要優化的控制命令是縱向加加速度J_x?和轉向加速度_?η_f，?用于提供對車輛的平穩控制。

其中，U 是縱向速度，a_x?是縱向加速度，δ_{f ?}是轉向角，γ_f? 是轉向角變化率。

分別用兩種最壞情況下的參數值，同時計算了兩組橫向動力學和橫擺動力學。第一組動力學方程使用最可能發生的剛性最大軌跡場景的參數值ptraj，下標traj表示相應的參數和變量。

其中v_traj?是車輛坐標系中的縱向速度，w_z,traj?是橫擺角速度，F_{y,f,traj ，Fy,r,traj?}使輪胎前后軸的側向力，采用純滑移式Pacejka Magic Formula輪胎模型P作為車輛狀態和控制變量的函數計算橫向力。下標f和r分別表示前橋和后橋。

第二組動態方程使用最可能最小的垂直載荷場景的參數值_pload???。

這組方程(19)(22)與(15)(18)相同，只是下標load用來表示參數值來自最可能最小的垂直載荷場景，并且使用這些參數值計算變量。

由此，得到了兩組具有兩組參數值的車輛動力學模型的狀態預測。每個集合只用于檢查相關約束的滿足程度。利用最可能發生的最硬軌跡情況的參數值和狀態預測，計算了車輛的航向角和軌跡剖面。然后在成本函數中使用它們將車輛驅動到指定的目標位置，并在位置約束中使用它們將車輛保持在使用激光雷達數據建立的安全區域內。

(x，y)是全球坐標系中車輛的前中心位置，ψ是偏航角。

用于防止車輪提升的約束條件由下式給出：

F_z,threshold?是最小垂直載荷閾值。F_z,rl,load?和F_z,rr,load?為后左后輪和后右后輪的垂直載荷，計算為最可能最小垂直載荷情況下的參數值和狀態預測的函數。

F_z,r0,load?是靜態后軸負載;ΔF_z,x,load?是由于縱向加速度在前后軸之間傳遞的載荷;_?ΔF_z,yr,load?是由于橫向加速度在兩個后輪之間傳遞的載荷;K_x,load?是縱向載荷傳遞系數;_?K_z,yr,load是后軸的橫向載荷傳遞系數。

面介紹的兩個限制的細節以及OCP策略的其余部分在此省略，因為它們保持相同并在[11]中進行了詳細討論。

第二個雙重最壞情況公式(MPC4)也考慮了最不可能出現的最壞情況，其方式除了兩個最可能的最壞情況之外，沒有在公式中引入其他方案。如第4.2節所述，并在第4.3節中進行了說明 ，對于垂直載荷預測，最可能的最壞情況和實際最壞情況之間的差異隨著減速度的增加而變大。獲得三種不太可能的最壞情況，其中簧載質量值處于其上限，并且輪胎參數值除了與場景2相比的兩個剛度相關參數之外處于相反的邊界?？梢钥紤]所有三個較少的情況。通過進一步增加狀態向量和增加約束數量，可能出現最糟糕的情況。然而，這種增加會增加解決OCP的計算負荷，這是不希望的。

如下開發了另一種方法。如圖? 13(b，c)所示，觀察到場景2和場景4的結果彼此非常接近，場景5的結果位于場景4的結果和場景6的結果之間。因此，如果只考慮一個不太可能的最壞情況，那就是情景6.此外，情景6和情景1除了三個質量和慣性相關項之外是相同的，它們對度量值的影響較小。如圖7的第二子圖(b)所示。因此，情景6可以通過情景1來近似。因此，為了進一步提高算法的魯棒性，可以通過考慮以下用于防止車輪提升的附加約束來增強MPC3，其成為MPC4，其解釋了不太可能出現的最壞情況。

F_z,rl,traj?和F_z,rr,traj?是左后輪胎和右后輪胎的垂直載荷，并計算為最可能“最強”的軌跡情景的參數值和狀態預測的函數。它們使用以下方程組來計算，除了使用不同的參數值組之外，其與方程(18)-21)相同。

表5總結了不同情景(MPC0，MPC1，MPC2)和兩個雙重最壞情況的原始公式的轉化為非線性規劃問題(NLPs)中的變量數，等式約束數和不等式約束數配方(MPC3和MPC4)的OCP相數N_ph，用于離散化的節點數N_no，路徑約束的數量Npt，以及是事件限制的數量?Nev。因此，MPC4是計算上最昂貴的策略。

表5.MPC配方中OCP

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模擬結果和討論

使用所有五種MPC配方進行兩組模擬。第一組使用50個LHD場景，而第二組使用表3和表4中列出的七個場景? ，這是標稱場景和六個最壞情況場景。

5.1 LHD場景

圖14顯示了使用考慮最壞情況的四種MPC公式的LHD情景的結果。表6總結了具有不同類型安全問題和故障情景總數的方案的數量。雖然單個模擬可能存在多個安全問題，但這僅僅算作一個失敗案例。因此，故障情景的總數不是表6中所有類型的安全問題數量的總和。

圖14.使用不同控制器的50 LHD場景的閉環仿真結果。(a)MPC1的軌跡輪廓。(b)MPC1的垂直載荷曲線。(c)MPC2的軌跡輪廓。(d)MPC2的垂直載荷曲線。(e)MPC3的軌跡輪廓。(f)MPC3的垂直載荷曲線。(g)MPC4的軌跡輪廓。(h)MPC4的垂直載荷曲線。

表6. LHD情景中觀察到的安全問題和故障情景的數量。

結論是，與MPC0相比，MPC1略微提高了參數不確定性的魯棒性。然而，MPC2顯著惡化了魯棒性。雖然沒有一個場景有車輪提升并且違反最小垂直載荷閾值的次數減少，但是違反最小距離目標閾值的次數急劇增加，因此導致不能完成任務，不滿足最終航向角要求。MPC3和MPC4都顯著提高了魯棒性，因為所有結果都是動態安全的并且滿足任務要求。值得強調的是，雖然魯棒性得到了改善，但無法保證所有可能的情況都使用MPC3或MPC4，因為在策略中只考慮了最可能的最壞情況。

預計提高參數不確定性的魯棒性會犧牲任務完成性能。為了評估這種權衡，使用四個度量來評估障礙物避免算法的任務完成性能：目標時間，平均速度，加速性能和轉向性能。除了優選較大度量值的平均速度之外，其他三個度量值需要較小的值。僅當場景不包含具有所有考慮的控制器的故障場景時，度量的比較才有意義。因此，僅考慮使用MPC0沒有安全問題的38個場景，因為除了MPC2之外，其他三個控制器也不會導致這38個場景的安全問題。表7 總結了除MPC2之外的每個MPC配方的平均度量值。

表7 使用MPC0成功的38個LHD場景的任務完成性能評估指標

將使用MPC1的結果與使用MPC0的結果進行比較，前三個性能指標略差，最后一個略好一些。對于MPC3和MPC4，前三個性能指標與MPC0和MPC1相比都略差。因此，可以得出結論，在魯棒性和任務完成性能之間存在折衷。通過考慮最壞情況場景來提高穩健性會降低任務完成性能。更具體地說，由于策略的保守性，MPC3和MPC4的平均速度比MPC0慢約11％。由于速度較慢和/或路線較長，使用MPC3和MPC4的目標時間比使用MPC0的時間長約11％。此外，MPC3和MPC4使用的加速力比MPC0多50％。這三個控制器所需的轉向力幾乎相同。總之，MPC3和MPC4都顯著地改善了避障算法對參數不確定性的魯棒性，然而，如上所述，以任務完成性能降低為代價。

使用MPC2產生的結果在所有考慮的配方中在每個方面都是最差的。原因是使用最可能最小的垂直載荷場景生成的軌跡非?！办`活”，如圖9和圖? 11所示。因此，用MPC2產生的轉向命令不足以使幾乎所有場景都使AGV遠離障礙物。在通過硬減速進行急轉彎之前，AGV非常接近障礙物，這導致大的控制力，顯著的迂回和任務不完整。

5.2 最壞情況

圖 15顯示了使用MPC0的標稱場景和六種最壞情況的閉環仿真結果。除了標稱場景的模擬外，其他六個模擬導致安全問題。情景2,4和6導致車輪抬起。方案1和5的結果違反了最小垂直負載閾值。方案1和方案3導致違反最小距離到目標閾值并且無法完成任務。因此，MPC0是具有標稱參數值的原始公式，對最壞情況不具有魯棒性。

圖15.使用MPC0的標稱場景和最壞情況的閉環仿真結果。(a)具有MPC0的軌跡輪廓; (b)MPC0的垂直載荷曲線。

圖 16顯示了其他四種MPC策略的結果。表8總結了具有不同類型的安全問題和故障情景總數的方案的數量。結果表明，雖然觀察到不同程度的成功，但這四個控制器比MPC0更有效。只有在使用MPC4時，這是五個中最復雜的配方，在最壞情況下，模擬結果中沒有安全問題或任務完成問題。對于MPC1，方案2導致車輪提升，方案4和5的結果違反了最小垂直負載閾值。對于MPC2，只有方案2和4的結果沒有安全問題或任務完成問題。對于MPC3，方案1和6導致違反最小垂直負載閾值。因此，當考慮最壞情況時，MPC4是在所有考慮的五種方案中所有考慮的情景中對參數不確定性具有魯棒性的公式。

圖16 使用不同控制器的標稱場景和最壞情況場景的閉環仿真結果。顏色約定與圖15相同。(a)MPC1的軌跡剖面; (b)MPC1的垂直載荷剖面; (c)MPC2的軌跡剖面; (d)MPC2的垂直載荷剖面; (e)MPC3的軌跡剖面; (f)MPC3的垂直載荷剖面; (g)MPC4的軌跡剖面; (h)MPC4的垂直載荷曲線。

表8 標稱方案和最壞情況下觀察到的安全問題和故障情景的數量

最后，這組結果不用于研究魯棒性和任務完成性能之間的權衡，因為原始控制器(MPC0)在所有最壞情況下都失敗了。此外，如果要比較MPC1，MPC3和MPC4的任務完成性能，則只能使用場景0和場景3，因為這三個控制器不會僅在這七個考慮場景中的這兩個場景中導致安全問題。但是，這兩種情況的數量太少，無法產生具有統計意義的結果。

總之，使用分層隨機場景和最壞情況場景的模擬結果表明，只有第二個雙重最壞情況公式(MPC4)才能使算法對所有測試的不確定性實現都具有魯棒性。從模擬的性能評估度量與分層隨機場景的比較，還得出結論，魯棒性的提高降低了性能，但可以說，降低到可接受的水平。

預計結論對于其他障礙領域是通用的，因為最可能的最壞情況場景是獨立于障礙物配置而獲得的。本文討論的兩組模擬也已經在我們之前的工作中討論過另一個甚至更具挑戰性的障礙領域[11]，本文省略了結果，但它們得出與上述相同的結論。

6

結論和其他研究

作者以前的工作重點是在未知和非結構化環境中的大型高速自主地面車輛中避障，并開發了基于非線性MPC的避障算法。該算法的目的是利用車輛的動態極限將其盡可能快地導航到給定的目標位置而不損害安全性。為此，該算法依賴于車輛和輪胎參數的知識。

本文首先研究了參數不確定性對避障算法性能的影響。該研究表明需要提高算法的魯棒性，并且由于應用現有技術的困難，提出了新的公式。與依賴于對數百個場景的評估的現有基于場景的方法不同，新的公式通過僅考慮兩種最可能的最壞情況場景來提高魯棒性。此外，與分析魯棒或隨機MPC算法不同，所提出的方法適用于非線性系統和非高斯不確定性分布。因此，實現了計算上有效的公式以改善非線性MPC算法的魯棒性。最后，討論了獲得的額外穩健性和任務完成性能之間的權衡?？梢缘贸鼋Y論，所提出的雙最壞情況公式可以以某種可接受的任務完成性能降低為代價來提高算法的魯棒性。

因此，總之，本文的貢獻描述如下。首先評估基于非線性MPC的避障算法對參數不確定性的魯棒性。其次，確定了兩種類型的不安全情景，這些情景被定義為最硬的軌跡和最小的垂直載荷情景。第三，開發了一種算法來獲得每種類型的不安全情景的最可能和最不可能的最壞情況。第四，開發了一種考慮最壞情況的新的雙重最壞情況公式，以解釋避障算法中的參數不確定性。最后，分析了魯棒性和任務完成性能之間的權衡。

本文介紹的方法是被動的?？梢栽谘a充中使用主動方法，其通過在線非線性自適應估計器來減少不確定性，以基于模型預測與從車輛收集的實際數據之間的差異來獲得參數值的更準確的估計。為此，可以利用現有的自適應觀測器方案，例如擴展卡爾曼濾波器[ 31 ]。未來的研究可能包括將這種能力添加到閉環系統中，以減少由于大的不確定性范圍引起的保守性導致的任務完成性能下降。

最后，除了參數不確定性之外，還有其他不確定性來源。例如，一個不確定性來源是車輛位置知識的誤差，以及障礙物的當前和未來位置。另一個不確定因素是由風和其他因素引起的外部干擾。這些來源也可能引起問題，需要加以考慮[ 20 ]。研究其他不確定性來源的影響是未來研究的主題。

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總結

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