一想到你在關注我就忍不住有點緊張

●先進算法●

數(shù)學建模中一些常用的算法，比如神經(jīng)網(wǎng)絡算法、遺傳算法、模擬退火算法和模糊數(shù)學方法等可以較容易地解決一些很復雜、常規(guī)算法很難解決的問題。這些算法都有很深的理論背景，但是我們的目標在于應用。

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神經(jīng)網(wǎng)絡

1神經(jīng)網(wǎng)絡的簡單原理

人工神經(jīng)網(wǎng)絡是根據(jù)人的認識過程而開發(fā)出的一種算法。假如我們現(xiàn)在只有一些輸入和相應的輸出，而對如何由輸入得到輸出的機理并不清楚，那么我們可以把輸入與輸出之間的未知過程看成是一個“網(wǎng)絡”，通過不斷地給這個網(wǎng)絡輸入和相應的輸出來“訓練”這個網(wǎng)絡，網(wǎng)絡根據(jù)輸入和輸出不斷地調(diào)節(jié)自己的各節(jié)點之間的權值來滿足輸入和輸出。這樣，當訓練結束后，我們給定一個輸入，網(wǎng)絡便會根據(jù)自己調(diào)節(jié)好的權值計算出一個輸出。這就是神經(jīng)網(wǎng)絡的簡單原理。

2神經(jīng)元和神經(jīng)網(wǎng)絡的結構

如上所述，神經(jīng)網(wǎng)絡的基本結構圖如下圖所示：神經(jīng)網(wǎng)絡一般都有多層，分為輸入層、輸出層和隱含層，層數(shù)越多，計算結果越精確，但所需的時間也就越長，所以實際應用中要根據(jù)要求設計網(wǎng)絡層數(shù)。

神經(jīng)網(wǎng)絡中每一個節(jié)點叫做一個人工神經(jīng)元，他對應于人腦中的神經(jīng)元，兩者的結構比較如上圖；

一個人工神經(jīng)元一般有多個輸入和一個輸出，另外有一個激發(fā)函數(shù)，不同的激發(fā)函數(shù)對應了不同的網(wǎng)絡，也決定了網(wǎng)絡的用途。

3神經(jīng)網(wǎng)絡的分類

神經(jīng)網(wǎng)絡按照網(wǎng)絡結構和激發(fā)函數(shù)的不同可分為許多種，我們在此只是對感知器和BP網(wǎng)絡進行簡介。

感知器：

? ? ? ? ?最早也是最簡單的一種神經(jīng)網(wǎng)絡，他的神經(jīng)元激發(fā)函數(shù)為階躍函數(shù)，神經(jīng)元結構如下圖1，感知器主要用于分類；

BP網(wǎng)絡：

? ? ? ? ?應用得最為廣泛，最為重要的一種神經(jīng)網(wǎng)絡。這種網(wǎng)絡一般有多層，網(wǎng)絡結構如下圖2

BP網(wǎng)絡的用途十分廣泛，可用于以下方面：

函數(shù)逼近：用輸入矢量和相應的輸出矢量訓練一個網(wǎng)絡逼近一個函數(shù)

模式識別：用一個特定的輸出矢量將他與輸入矢量聯(lián)系起來

分? ? ?類：把輸入矢量以所定義的合適方式進行分類

數(shù)據(jù)壓縮：減少輸出矢量維數(shù)以便于傳輸或存儲

4神經(jīng)網(wǎng)絡在數(shù)學建模中的應用

數(shù)學建模中有很多題目可以用神經(jīng)網(wǎng)絡加以解決，比較典型的題目有：DNA序列分類題(2000年全國賽A題)，癌癥判斷題(2001年北京大學數(shù)學建模競賽)，乳房癌的診斷題(2001年全國大學生數(shù)學建模夏令營C題)。下面我們使用神經(jīng)網(wǎng)絡的方法解決癌癥判斷題(2001年北京大學數(shù)學建模競賽)，題目如下：

附件中的文件給出了一個114個基因，60個人的基因表達水平的樣本，其中前20個是癌癥病人的基因表達水平的樣本(其中還可能有子類)，其后的是20個正常人的基因表達信息樣本，其余的20個是待檢測的樣本(未知它們是否正常)。

(1)試設法找出描述癌癥與正常樣本在基因表達水平上的區(qū)別，建立數(shù)學模型及識別方法，去檢測待檢測樣本是癌癥還是正常樣本。

(2)設計圖示(可視化)方法，使得在你的數(shù)學模型下，盡量清楚地表現(xiàn)癌癥與正常樣本在基因表達水平上的區(qū)別，以及癌癥樣本中是否有子類。

這道題是很典型的神經(jīng)網(wǎng)絡的分類問題，只需用感知器神經(jīng)網(wǎng)絡便能完成此分類工作，我們用前40組數(shù)據(jù)對網(wǎng)絡進行訓練，再用訓練好的網(wǎng)絡來計算后20組數(shù)據(jù)，便能得到此分類的結果。

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遺傳算法

1遺傳算法的簡單原理

遺傳算法(Genetic Algorithm, GA)是一-種基于自然群體遺傳演化機制的高效探索算法，它摒棄了傳統(tǒng)的搜索方式，模擬自然界生物進化過程，采用人工進化的方式對目標空間進行隨機化搜索。它將問題域中的可能解看作是群體的-一個個體或染色體,并將每一個體編碼成符號串形式，模擬達爾文的遺傳選擇和自然淘汰的生物進化過程，對群體反復進行基于遺傳學的操作(遺傳，交叉和變異)，根據(jù)預定的目標適應度函數(shù)對每個個體進行評價，依據(jù)適者生存，優(yōu)勝劣汰的進化規(guī)則，不斷得到更優(yōu)的群體，同時以全局并行搜索方式來搜索優(yōu)化群體中的最優(yōu)個體，求得滿足要求的最優(yōu)解。

我們先通過一個例子來了解遺傳算法的原理:.

假定我們要求函數(shù)f(x)=x2的極大值，其中x為自然數(shù)，0≤x≤31。現(xiàn)在，我們將每一個數(shù)看成一一個生命體，通過進化，我們看誰能最后生存下來，誰就是我們所尋找的數(shù)。

①.編碼

我們將每一一個數(shù)作為一個生命體，那么必須給其賦予一定的基因，這個過程叫做編碼。我們可以把變量x編碼成5位長的_二進制無符號整數(shù)表示形式，比如x=13可表示為01101的形式，也就是說，數(shù)13的基因為01101。

②.初始群體的生成

由于遺傳的需要，我們必須設定- -些初始的生物群體，讓其作為生物繁殖的第一代，需要說明的是，初始群體的每個個體都是通過隨機方法產(chǎn)生的，這樣便可以保證生物的多樣性和競爭的公平性。

③.適應度評估檢測

生物的進化服從適者生存，優(yōu)勝劣汰的進化規(guī)則，因此，我們必須規(guī)定什么樣的基因是“優(yōu)”的，什么樣的基因是“劣”的，在這里，我們稱為適應度。顯然，由于我們要求f(x)=x2的最大值，因此，能使f(x)=x2較大的基因是優(yōu)

的，使f(x)=x2較小的基因是劣的，因此，我們可以將f(x)= x2定義為適應度函數(shù)，用來衡量某一生物體的適應程度。

④.選擇

接下來，我們便可以進行優(yōu)勝劣汰的過程,這個過程在遺傳算法里叫做選擇。注意，選擇應該是一個隨機的過程，基因差的生物體不一-定會被淘汰，只是其被淘汰概率比較大罷了，這與自然界中的規(guī)律是相同的。因此，我們可以采取賭論的方式來進行選擇。

⑤.交叉操作

接下來進行交叉繁殖，隨機選出兩個生物體，讓其交換- -部分基因，這樣便形成了兩個新的生物體，為第二代。

⑥.變異

生物界中不但存在著遺傳，同時還存在著變異，在這里我們也引入變異，使生物體的基因中的某- -位以- -定的概率發(fā)生變化，這樣引入適當?shù)臄_動，能避免局部極值的問題。

以上的算法便是最簡單的遺傳算法，通過以上步驟不斷地進化，生物體的基因便逐漸地趨向最優(yōu)，最后便能得到我們想要的結果。

2遺傳算法的步驟

從上面的例子中，我們便能得到遺傳算法的一般步驟，如下圖所示：

3遺傳算法的應用

遺傳算法主要是用來尋優(yōu)，它具有很多優(yōu)點：它能有效地避免局部最優(yōu)現(xiàn)象，有極其頑強的魯棒性，并且在尋優(yōu)過程中，基本不需要任何搜索空間的知識和其他輔助信息等等。

為了介紹遺傳算法的應用，我們將前面的例子進行完，整個過程如下：

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模擬退火算法

1模擬退火算法的簡單原理

模擬退火算法主要用于解決組和優(yōu)化問題，它是模擬物理中晶體物質(zhì)的退火過程而開發(fā)的一種優(yōu)化算法。

在對固體物質(zhì)進行模擬退火處理時，通常先將它加溫熔化，使其中的粒子可自由運動，然后隨著溫度的逐漸下降，粒子也逐漸形成了低能態(tài)的晶格。若在凝結點附近的溫度下降速率足夠慢，則固體物質(zhì)一定會形成最低能態(tài)的基態(tài)。

對于組合優(yōu)化問題來說，它也有這樣的類似過程。組合優(yōu)化問題解空間中的每一點都代表一個具有不同目標函數(shù)值的解。所謂優(yōu)化，就是在解空間中尋找目標函數(shù)最小(大)解的過程。若把目標函數(shù)看成能量函數(shù)，某一控制參數(shù)視為溫度T，解空間當作形態(tài)空間，那么尋找基態(tài)的過程也就是求目標函數(shù)極小值的優(yōu)化過程。

2模擬退火算法的應用

如前所述，模擬退火算法主要用于解決組和優(yōu)化問題，典型的例子是用模擬退火算法來解決TSP問題。

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模糊數(shù)學方法

1模糊數(shù)學的簡單原理

①.模糊集

對于傳統(tǒng)集合，-一個元素要么屬于這個集合，要么不屬于這個集合，我們用1表示元素屬于該集合，用0表示元素不屬于這個集合。

模糊集合論認為，一個元素可以不完全屬于-一個集合，用[0，1]之間的- -個數(shù)來表示一個元素屬于一個集合的程度,這個數(shù)叫做該元素屬于該集合的隸屬度。

②.模糊概念的清晰化

我們可以設定一個數(shù)(比如0.5)，當一個元素的隸屬度大于這個數(shù)時，我們就可以認為該元素屬于這個集合，這就是模糊概念的清晰化。

2模糊數(shù)學的應用舉例

模糊數(shù)學在數(shù)學建模中主要用于模糊決策，這也是決策論中很重要的一部分內(nèi)容，我們通過下面的例子來說明。

有7名同學進行了畢業(yè)論文的答辯，有10位教授要對同學的答辯做出評分，評分采取等級制，各等級的分數(shù)如下: .

評分標準 一等 二等?三等?四等?五等?六等

分數(shù)? ? ? ?10? ? 8? ? ?6? ? ?4? ? ?3? ? ?1

將參加評選的同學進行兩兩比較評分，例如x1→x2 (以先評價的x2為基準，后評價的x:為對象進行相對比較評分)。比如10人所給相加的總分為80分，則學生x1對x2的優(yōu)先選擇比為r12=80/100= 0.80(其中分母100為10個教授都給最高分時的總分)相應的x2對x1的優(yōu)先選擇比為r=1-r2 =1-0.8 = 0.2.利用上面的方法便可以得到下表:

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的多类感知器算法题目_先进算法讲解的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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