本文是觀看B站視頻教程所做的截圖和筆記。

疑問：

• 1.觀測矩陣H是單位矩陣嗎？如果是的話，那么卡爾曼增益的兩種寫法都合理。那么他的作用是對$X_k$向量進行變換為$Z_k$向量的各個維度對應嗎？
  答：觀測矩陣H可以是單位矩陣，但是也可以不是單位矩陣。他把狀態量變換成和觀測量對應的特征值。
• 2.卡爾曼增益$K_k$是矩陣還是實數？
  答：卡爾曼增益$K_k$是矩陣。當測量噪聲的協方差矩陣R特別小時，卡爾曼增益$K_k$趨近于H的逆$H^{?1}$。所以卡爾曼增益$K_k$和觀測矩陣H行和列維度一樣。

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無論是算出來的結果，還是測量出來的結果，都不具備噪聲的影響。如果你可以完整建模噪聲的話，就不存在卡爾曼濾波器了，也就不存在觀測器的作用了，因為你可以得到這個結果。
因為存在噪聲，所以這兩個結果都是不準確的，此時，卡爾曼濾波器的作用就體現出來了。
且看卡爾曼濾波器如何通過2個不太準確的結果得出一個準確結果：

注意區分先驗和逆的符號表示，對于Xk和Pk右上角跟一個-的，就是先驗，不跟-就是后驗.對于H后面跟一個-就表示逆。有的右上角符號是-T，表示的是先驗的轉置。

文中的下標k表示k時刻。

我們一般會假設過程噪聲和測量噪聲都符合正態分布。

下面這張截圖摘自卡爾曼濾波五個公式推導，每個變量是什么都寫的比較清楚。

從下面開始都是B站的截圖：
去掉兩個噪聲，如下

上面的(1)式，由于去掉了過程噪聲那一項，所以是不完整的，頭頂加上^表示是估計值，由于我們沒對他們做任何處理，右上角加上-表示先驗，合起來就叫先驗估計。

$$后驗\widehat{X_k}=先驗\widehat{X_k^{?}}+G?(測量值X_{k}measured?先驗\widehat{X_k^{?}})$$

$G$ 是卡爾曼增益，而教科書中給出的卡爾曼增益是$K_k$,二者之間的關系有：

$$G=K_k?H$$。

接下來我們需要量化誤差，$e_k=X_k?\widehat{X_k}$，誤差也滿足正態分布。

注意：

• $e_k=X_k?\widehat{X_k}$，其中$X_k$是第k時刻的實際值，$\widehat{X_k}$是第k時刻的后驗估計值。
• 先驗誤差$e_k^{?}=X_k?\widehat{X_k^{?}}$ ，其中$X_k$是第k時刻的實際值， $\widehat{X_k^{?}}$是第k時刻的先驗估計值。

我們知道，方差越小，誤差就越小，也就越接近期望值。
為了使得方差最小，我們就是要使得協方差矩陣的跡最小，如下：

對于$e_k$的協方差矩陣P，把$e_k$代入下面P中得到：

上面的P就是$P_k$,含義見下面：由于上面的期望E中式子是線性的，所以可以隨他們分別求期望：

由于$e_k$和測量噪聲v都滿足正態分布，所以他們的期望都為0，所以上面的有些式子可以直接劃掉。
如果兩個不同的變量A和B是獨立同分布的，那么期望E(AB)=E(A)*E(B)。
上面的式子化簡后得到：

前面的所有式子都是在求P, P就是Pk：
下一篇博客會講到怎么求$P_k$的先驗$P_k^{?}$，即上式的等號右邊第一項。

由于前面的式子中的第二個和第三個有以下轉置關系：

方陣有個定理是，矩陣A和矩陣A的逆$A^{?1}$，他們的的跡相等。所以上面第二三個式子的跡相等。

推導了這么多，別忘了我們開始的目標是，為了使得方差最小，我們就是要使得協方差矩陣的跡最小：

要求協方差的跡最小，就是跡對$K_k$求導==0，
該方法證明在矩陣的跡可以看到。


最后得到：
$P_k$是協方差矩陣，又因為協方差矩陣的轉置等于他自己，化簡得到：

最終求得$K_k$:

該公式就是卡爾曼濾波器中最核心的公式。
(下一篇博客會講到分子的$P_k^{?}$即$P_k$的先驗是怎么得到的。)

得到了卡爾曼增益$K_k$,我們再回過頭來分析:

當測量噪聲的協方差矩陣R特別大時，卡爾曼增益$K_k$趨近于0，此時估計值就等于先驗估計值，我們更愿意相信計算出來的結果。

當測量噪聲的協方差矩陣R特別小時，卡爾曼增益$K_k$趨近于H逆$H^{?1}$，此時估計值就等于 $測量值?H^{?1}$ ，我們更愿意相信測量出來的結果。

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w是過程噪聲（即過程噪聲是n維向量，它的每一維度都表示噪聲的一個特征），P(w)是
過程噪聲的概率分布，0是過程噪聲的期望，Q是過程噪聲的協方差矩陣。

我們一般會假設過程噪聲和測量噪聲都符合正態分布。

下面是以過程噪聲是2維向量為例來推導公式：

由于方差和期望有以下關系：

$$Var(x)=E(x^2)?E^2(x)$$

對于正態分布，他的期望$$E(x)=0$$所以$$E^2(x)=0$$
所以方差就等于 $$Var(x)=E(x^2)$$
所以可以得到上面的協方差矩陣。

上面的協方差矩陣的書寫方式會造成誤解，因為X和Y協方差 并不等于 X的標準差乘以Y的標準差，而且可正可負，在這里是表示二者之間的協方差，并不是二者標準差相乘。這篇博客的最后介紹了相關系數：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数学和算法】初识卡尔曼滤波器（三）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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