原文鏈接：https://blog.csdn.net/shenxiaolu1984/article/details/50639298
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三維空間剛體旋轉有兩種方式：

• (1) 任何一個旋轉可以表示為依次繞著三個旋轉軸旋三個角度的組合。這三個角度稱為歐拉角。
• (2) 三維空間的任意旋轉，都可以用繞三維空間的某個軸旋轉過某個角度來表示。

繞坐標軸的多次旋轉可以等效為繞某一軸旋轉一定角度，我感覺這就是四元數最直觀的幾何意義了。不管是RPY還是歐拉角，都可以利用四元數來代替表達。可以參考下面這篇博文：
https://www.cnblogs.com/21207-iHome/p/6894128.html

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1.歐拉角的物理意義：

任何一個旋轉可以表示為依次繞著三個旋轉軸旋三個角度的組合。這三個角度稱為歐拉角。
三個軸可以指固定的世界坐標系軸，也可以指被旋轉的物體坐標系的軸。三個旋轉軸次序不同，會導致結果不同。
本文中提到的歐拉角指：繞著世界坐標系的x,y,z軸，依次旋轉的結果。其取值范圍如下：

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歐拉角→旋轉矩陣
單獨繞一個軸旋轉θ角度的旋轉矩陣為：

如果依次繞x軸、y軸、z軸旋轉，該變換的旋轉矩陣為：

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2.四元數的物理意義：

旋轉向量

三維空間的任意旋轉，都可以用繞三維空間的某個軸旋轉過某個角度來表示，即所謂的Axis-Angle(軸角)表示方法。軸角，就是繞一個軸旋轉某個角度，來表示一個旋轉。

這種表示方法里，Axis(軸)可用一個三維向量(x,y,z)來表示，θ可以用一個角度值來表示。

直觀來講，一個四維向量(θ,x,y,z)就可以表示出三維空間任意的旋轉。注意，這里的三維向量(x,y,z)只是用來表示axis(軸)的方向朝向，因此更緊湊的表示方式是用一個單位向量來表示方向axis(軸)，而用該三維向量的長度來表示角度值θ。

這樣以來，可以用一個三維向量(θ?x,θ?y,θ?z)就可以表示出三維空間任意的旋轉，前提是其中(x,y,z)是單位向量，即 $x^2+y^2+z^2=1$。這就是旋轉向量(Rotation Vector)的表示方式，OpenCV里大量使用的就是這種表示方法來表示旋轉(見OpenCV相機標定部分的rvec)。

四元數

前面的旋轉向量中的單位向量(x,y,z)旋轉θ角度后的四元數：

對于三維坐標的旋轉，可以通過四元數乘法直接操作，與旋轉矩陣操作可以等價，但是表示方式更加緊湊，計算量也可以小一些。

需要注意，單位向量(x,y,z)指的是這個向量長度為1，即$x^2+y^2+z^2=1$，這個向量是表示的這個軸的位置，表述某個向量時，一般會把這個向量用單位向量表示，下面的(w1,w2,w3)就是單位向量(x,y,z)，寫法不一致而已。

四元數的模是四元數到原點的距離。如果某個四元數(q0, q1, q2, q3)的模長為1，即滿足 $\sqrt{q_0^2+q_1^2+q_2^2+q_3^2}=1$。但并不是說所有四元數的模都為1。只有表示旋轉的四元數的模才為1,所以上面旋轉向量的模才為1。不要混淆了。

注意，上面的w1,w2,w3不是i,j,k, 不要搞混了。[w1,w2,w3]是通過原點的某個軸上的單位長度(長度為1)的點，即$w_1^2+w_2^2+w_3^2=1$。
[w1,w2,w3]是個三維坐標點，設為點P，則OP就是這個旋轉軸，w1,w2,w3分別為距離坐標系原點O的三個方向的距離。

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歐拉角的缺點：

• 1、 歐拉角的表示方式不唯一。給定某個起始朝向和目標朝向，即使給定yaw、pitch、roll的順序，也可以通過不同的yaw/pitch/roll的角度組合來表示所需的旋轉。這其實主要是由于萬向鎖(Gimbal Lock)引起的；
• 2、歐拉角的插值比較難；
• 3、計算旋轉變換時，一般需要轉換成旋轉矩陣，這時候需要計算很多sin, cos，計算量較大；

對于三維坐標的旋轉，可以通過四元數乘法直接操作，與旋轉矩陣操作可以等價，但是表示方式更加緊湊，計算量也可以小一些。

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萬向鎖

請參考原文：https://zhuanlan.zhihu.com/p/74040465

為了更好的理解這個現象，我們再用自己的手機做一個試驗：

• 把手機屏幕朝上，手機的長邊為X軸，短邊為Y軸，Z軸垂直屏幕向下。
• 你先繞Z軸旋轉一下手機，假設旋轉30度；
• 然后再把手機繞Y軸旋轉90度，也就是把手機短邊接觸桌面，長邊豎立起來；
• 這時候你再繞手機的長邊(X軸)旋轉，你會發現手機的短邊一直定在桌面上不可能脫離桌面，這就是萬向鎖現象。

下面這個說法，是從方向自由度來說明的：
需要注意的是XYZ軸的定義動態跟從手機的方向，例如Z軸永遠是手機屏幕所示方向。
按Z->Y->X的順序來旋轉手機，不過規定Y旋轉的角度為90°。
這樣做的時候你會發現無論你怎樣選擇Z和X的旋轉角度，手機的短邊都無法離開桌面。這意味著什么呢？這意味著雖然你看似有X、Z旋轉的2向自由度，但是當Y被定為90的時候，這個系統實際上只有一向自由度，因為任何兩向自由度的旋轉一定可以使任一直線離開任一平面，而我們繞Z軸和x軸隨便轉卻并不能將手機的短邊移開桌面。

下面這個說法，是從繞X、Z軸分別旋轉不同角度卻能達到同樣效果來說明：
首先旋轉順序就是Z-Y-X，繞完Y軸旋轉后，只能繞X軸旋轉了，不能再繞Z軸旋轉了；
舉例：

• 轉法1：你先繞Z正方向旋轉30°，再繞Y正方向旋轉90°，最后繞X軸旋轉30°，見下圖左；
• 轉法2：你先繞Z正方向旋轉20°，再繞Y正方向旋轉90°，最后繞X軸旋轉40°，見下圖右；
  實線是最開始沒旋轉的，虛線矩形是繞Z軸旋轉后的，繞y軸旋轉后的由于是豎直方向的，所以沒畫出來，箭頭指向的那個虛線是繞X軸旋轉的角度。下面兩幅圖最終都達到了同樣的效果，角度都為60°。
  

你會發現兩種轉法的結果是一樣的，所以說先繞Z旋轉的度數和最后繞X的旋轉度數，沒啥區別了。最終的結果就是，你繞X軸旋轉的角度，也可以通過旋轉Z軸來達到同樣；或者，你繞Z軸旋轉的角度，也可以通過旋轉X軸來達到同樣效果。

數學解釋：

一般情況下都是繞X軸旋轉的是pitch俯仰角，繞Y軸旋轉的是yaw偏航角，繞Z軸旋轉的是roll翻滾角。

最后，再讓我們用數據公式來解釋一下萬向鎖現象產生的原因，我們來回顧一下旋轉矩陣：

這說明你改變φ和ψ的值都是一個效果，而矩陣的第一行和最后一列始終是保持不變，這說明無論你怎么改變φ和ψ，你的旋轉軸一直是Z軸不變，要想改變φ和ψ有不同的效果，你只能是去改變θ的值，以上就是用數學方法來解釋為什么俯仰角在±90°時歐拉角出現萬向鎖的過程。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【自动驾驶】24.欧拉角、旋转向量、四元数、万向锁的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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