1. 概述

AVL樹是最早提出的自平衡二叉樹，在AVL樹中任何節點的兩個子樹的高度最大差別為一，所以它也被稱為高度平衡樹。AVL樹得名于它的發明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis。AVL樹種查找、插入和刪除在平均和最壞情況下都是O（log n），增加和刪除可能需要通過一次或多次樹旋轉來重新平衡這個樹。本文介紹了AVL樹的設計思想和基本操作。

2. 基本術語

有四種種情況可能導致二叉查找樹不平衡，分別為：

（1）LL：插入一個新節點到根節點的左子樹（Left）的左子樹（Left），導致根節點的平衡因子由1變為2

（2）RR：插入一個新節點到根節點的右子樹（Right）的右子樹（Right），導致根節點的平衡因子由-1變為-2

（3）LR：插入一個新節點到根節點的左子樹（Left）的右子樹（Right），導致根節點的平衡因子由1變為2

（4）RL：插入一個新節點到根節點的右子樹（Right）的左子樹（Left），導致根節點的平衡因子由-1變為-2

針對四種種情況可能導致的不平衡，可以通過旋轉使之變平衡。有兩種基本的旋轉：

（1）左旋轉：將根節點旋轉到（根節點的）右孩子的左孩子位置

（2）右旋轉：將根節點旋轉到（根節點的）左孩子的右孩子位置

3. AVL樹的旋轉操作

AVL樹的基本操作是旋轉，有四種旋轉方式，分別為：左旋轉，右旋轉，左右旋轉（先左后右），右左旋轉（先右后左），實際上，這四種旋轉操作兩兩對稱，因而也可以說成兩類旋轉操作。

基本的數據結構：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

typedef struct Node* Tree; typedef struct Node* Node_t; typedef Type int; struct Node{ ?Node_t left; ?Node_t right; ?int height; ?Type data; }; int Height(Node_t node) { ?return node->height; }

3.1 LL

LL情況需要右旋解決，如下圖所示：

代碼為：

1 2 3 4 5 6 7 8

Node_t RightRotate(Node_t a) { ?b = a->left; ?a->left = b->right; ?b->right = a; ?a->height = Max(Height(a->left), Height(a->right)); ?b->height = Max(Height(b->left), Height(b->right)); ?return b; }

3.2 RR

RR情況需要左旋解決，如下圖所示：

代碼為：

1 2 3 4 5 6 7 8

Node_t LeftRotate(Node_t a) { ?b = a->right; ?a->right = b->left; ?b->left = a; ?a->height = Max(Height(a->left), Height(a->right)); ?b->height = Max(Height(b->left), Height(b->right)); ?return b; }

3.3 LR

LR情況需要左右（先B左旋轉，后A右旋轉）旋解決，如下圖所示：

代碼為：

1 2 3 4

Node_t LeftRightRotate(Node_t a) { ?a->left = LeftRotate(a->left); ?return RightRotate(a); }

3.4 RL

RL情況需要右左旋解決（先B右旋轉，后A左旋轉），如下圖所示：

代碼為：

1 2 3 4

Node_t RightLeftRotate(Node_t a) { ?a->right = RightRotate(a->right); ?return LeftRotate(a); }

4. AVL數的插入和刪除操作

(1) 插入操作：實際上就是在不同情況下采用不同的旋轉方式調整整棵樹，具體代碼如下：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Node_t Insert(Type x, Tree t) { ?if(t == NULL) { ???t = NewNode(x); ?} else if(x < t->data) { ???t->left = Insert(t->left); ???if(Height(t->left) - Height(t->right) == 2) { ????if(x < t->left->data) { ?????t = RightRotate(t); ????} else { ?????t = LeftRightRotate(t); ????} ??} ?} else { ???t->right = Insert(t->right); ???if(Height(t->right) - Height(t->left) == 2) { ????if(x > t->right->data) { ?????t = LeftRotate(t); ????} else { ?????t = RightLeftRotate(t); ????} ??} ?} ?t->height = Max(Height(t->left), Height(t->right)) + 1; ?return t; }

(2) 刪除操作：首先定位要刪除的節點，然后用該節點的右孩子的最左孩子替換該節點，并重新調整以該節點為根的子樹為AVL樹，具體調整方法跟插入數據類似，代碼如下：

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Node_t Delete(Type x, Tree t) { ?if(t == NULL) return NULL; ?if(t->data == x) { ??if(t->right == NULL) { ???Node_t temp = t; ???t = t->left; ???free(temp); ??} else { ???Node_t head = t->right; ???while(head->left) { ????head = head->left; ???} ???t->data = head->data; //just copy data ???t->right = Delete(t->data, t->right); ???t->height = Max(Height(t->left), Height(t->right)) + 1; ??} ??return t; ?} else if(t->data < x) { ??Delete(x, t->right); ??if(t->right) Rotate(x, t->right); ?} else { ??Delete(x, t->left); ??if(t->left) Rotate(x, t->left); ?} ?if(t) Rotate(x, t); }

5. 總結

AVL樹是最早的自平衡二叉樹，相比于后來出現的平衡二叉樹（紅黑樹，treap，splay樹）而言，它現在應用較少，但研究AVL樹對于了解后面出現的常用平衡二叉樹具有重要意義。

6. 參考資料

（1） 數據結構（C語言版） 嚴蔚敏，吳偉民著

（2）?http://zh.wikipedia.org/wiki/AVL%E6%A0%91

（3）http://www.cppblog.com/goodwin/archive/2011/08/08/152797.html

（4）http://www.asiteof.me/2010/06/avl/

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构之AVL树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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