第一節?矩陣的初等變換

一.?數學概念

等價關系具有的性質：

(i)　?反身性　A~A;

(ii) 對稱性　若A~B,則B~A;

(iii)??傳遞性　若A~B,?B~C,則A~C;

二.?重點，難點分析

本節的重點是用矩陣的初等變換將矩陣化為行(列)階梯形矩陣、最簡型矩陣和標準形矩陣。行(列)階梯形矩陣對于我們下節學習矩陣的秩是至關重要的，最簡形矩陣對于今后學習方程組求解是非常有用的。只要掌握將矩陣化為階梯形、最簡型和標準形的一般規律，就將使其化難為易，快速得出所需要的結果。

三.?典型例題

例　設矩陣

將A化成行階梯形，行最簡形和標準形矩陣。

解：對矩陣A作初等行變換，

??

顯然，B₁是行階梯形矩陣，其特點是：階梯線下方的數全為0；每個臺階只有一行，臺階數即是非零的行數，階梯線的豎線(每段豎線的均為一行)后面的第一個元素為非零元，也就是非零行的首非零元。

將B₁再繼續進行初等行變換，得

　　顯然B₂是行最簡型矩陣，其特點是：非零行的首非零元為1，且這些非零元所在的列的其它元素都為0。

對行最簡形矩陣再施以初等列變換，得：

顯然_??是標準形矩陣，其特點是，該矩陣的左上角是一個單位矩陣，其它的元素全為零。

　　注：將矩陣化為標準形矩陣可以用初等行變換先變成行階梯矩陣，再變成行最簡矩陣，在此基礎上再用初等列變換最終化成標準形矩陣，也可以通過用初等列變換將其變成列階梯形矩陣，再用初等列變換變成列最簡形矩陣，最后用初等行變換將其變成標準形矩陣，也可以初等行、列變換并用，將快速把矩陣變成標準形矩陣。但考慮下面學習解線性方程組的需要，我們必須熟練掌握用初等行變換把矩陣化為行最簡形矩陣。

第二節　矩陣的秩

一.?數學概念

定義2.1　在_??矩陣A中，任取k行與k列(k≤m,k≤n)，位于這些行列交叉處的k²個元素，不改變它們在矩陣中所處的位置次序而得的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式。

定義2.1　設在矩陣A中有一個不等于0的r階子式D，且所有r+1階子式(如果存在的話)全等于0，那末D稱為矩陣A的最高階非零子式，數r稱為矩陣A的秩，記作

R(A)。

1.?零矩陣的秩為0；

2.?_?；

3.?可逆矩陣稱為滿秩矩陣；

4.?不可逆矩陣稱為降秩矩陣。

二.?原理公式和法則

????定理2.1　若A~B，則R(A)=?R(B)。

根據這一定理，為求矩陣的秩，只要把矩陣用初等行變換成行階梯形矩陣，易見該矩陣最高階非零子式的階數。顯然行階梯形矩陣中非零行的行數即是該矩陣的秩。這就給出求矩陣秩的方法。

三.?重點、難點分析

本節的重點是用初等變換求出矩陣的秩，重點掌握用初等行變換將矩陣化為行階梯形矩陣，進而求出矩陣的秩，這對于求解線性方程組是非常有用的。難點是怎樣正確的理解定理的證明和再用初等變換將矩陣化為階梯中的方法和技巧，掌握了方法和技巧，將簡單快速求出矩陣的秩，否則抓不住規律，計算起來將十分繁雜。

四.?典型例題

例1?設矩陣

求矩陣A的秩，并求A的一個最高非零子式。

解：先求A的秩，為此對A作初等行變換成行階梯形矩陣：

?

因為行階梯形矩陣有3個非零行，所以R(A)=3.

再求A的一個最高階非零子式。因R(A)=3，知A的最高階非零子式為3階。A的3階子式共有_??(個)，要從40個子式中找出一個非零子式，是比較麻煩的。考察A的行階梯形矩陣，記_??，則矩陣_?的行階梯形矩陣為

知R(B)=3，故B中必有3階非零子式。B的3階子式有4個，在B的4個3階子式中找一個非零子式比在A中找非零子式較方便。今計算B的前三行構成的子式

_?，

因此這個子式便是A的一個組高階非零子式。

from: http://dec3.jlu.edu.cn/webcourse/t000022/teach/index.htm

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（1）矩阵的初等变换 矩阵的秩的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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