§3.3??泰勒公式

常用近似公式，將復雜函數用簡單的一次多項式函數近似地表示，這是一個進步。當然這種近似表示式還較粗糙（尤其當較大時），從下圖可看出。

上述近似表達式至少可在下述兩個方面進行改進：

1、提高近似程度，其可能的途徑是提高多項式的次數。

2、任何一種近似，應告訴它的誤差，否則，使用者“ 心中不安”。

將上述兩個想法作進一步地數學化：

對復雜函數，想找多項式來近似表示它。自然地，我們希望盡可能多地反映出函數所具有的性態 —— 如：在某點處的值與導數值；我們還關心的形式如何確定；近似所產生的誤差。

【問題一】

設在含的開區間內具有直到階的導數，能否找出一個關于的??次多項式

近似?

【問題二】

若問題一的解存在，其誤差的表達式是什么?

一、【求解問題一】

問題一的求解就是確定多項式的系數。

?

?

?

?

……………

上述工整且有規律的求系數過程，不難歸納出：

于是， 所求的多項式為：

?(2)

二、【解決問題二】

泰勒(Tayler)中值定理

若函數在含有的某個開區間內具有直到階導數，則當時，可以表示成

這里是與之間的某個值。

先用倒推分析法探索證明泰勒中值定理的思路：

??

這表明：

只要對函數??及?在與之間反復使用次柯西中值定理就有可能完成該定理的證明工作。

【證明】

以與為端點的區間或記為?，?。

函數??在上具有直至??階的導數，

且??

函數??在上有直至階的非零導數，

且??

于是，對函數??及??在上反復使用??次柯西中值定理， 有

三、幾個概念

1、

此式稱為函數按的冪次展開到?階的泰勒公式；

或者稱之為函數在點??處的??階泰勒展開式。

當??時， 泰勒公式變為

這正是拉格朗日中值定理的形式。 因此，我們也稱泰勒公式中的余項。

?為拉格朗日余項。

2、對固定的，若?

有??

此式可用作誤差界的估計。

故??

表明： 誤差是當?時較??高階無窮小， 這一余項表達式稱之為皮亞諾余項。

3、若，則在??與?之間，它表示成形式???，

泰勒公式有較簡單的形式 ——?麥克勞林公式

?

近似公式

誤差估計式

【例1】求的麥克勞林公式。

解：?

，

?于是??

有近似公式????

其誤差的界為??

我們有函數?的一些近似表達式。

(1)、????(2)、??(3)、

在matlab中再分別作出這些圖象，觀察到它們確實在逐漸逼近指數函數。

【例2】求??的?階麥克勞林公式。

解：

它們的值依次取四個數值?。

其中：???

同樣，我們也可給出曲線??的近似曲線如下，并用matlab作出它們的圖象。

???????????

【例3】求的麥克勞林展開式的前四項，并給出皮亞諾余項。

解：

?????

于是：?

利用泰勒展開式求函數的極限，可以說是求極限方法中的“終極武器”，?使用這一方法可求許多其它方法難以處理的極限。

【例4】利用泰勒展開式再求極限?。

解：，???

【注解】

現在，我們可以徹底地說清楚下述解法的錯誤之處

因為，從而

當時，，應為??

【例5】利用三階泰勒公式求?的近似值， 并估計誤差。

解：

故：

_{from:?http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/3.3%20%20tailegongshi.htm}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Taylor泰勒级数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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