第 25 章　如何求解估算問題

在上一章中, 我們學(xué)習(xí)了如何應(yīng)用泰勒多項式來估算(或近似)特定的量.我們也知道了余項可以用來判定近似程度. 本章,我們將討論相應(yīng)的方法并討論一些相關(guān)例題. 下面是本章的計劃：

• 泰勒多項式和泰勒級數(shù)的重要結(jié)論回顧;

• 如何求泰勒多項式和泰勒級數(shù);

• 估算問題;

• 分析誤差的一個不同的方法.

25.1　泰勒多項式與泰勒級數(shù)總結(jié)

下面是關(guān)于泰勒多項式和泰勒級數(shù)的一些重要結(jié)論,這些均已在前一章中討論過：

1. 在所有次數(shù)為N或更低的多項式中,與定義在a附近的平滑函數(shù)f最近似的多項式被稱為關(guān)于x?=a的N階泰勒多項式, 即

用求和號表示, 可寫為

2. 多項式PN與f在x?=?a點直到N階的導(dǎo)數(shù)相同. 即

且直到. 一般來說,上述等式對a之外的其他任何值, 或大于N的任何階導(dǎo)數(shù)都不成立.(實際上,?PN大于N階的所有導(dǎo)數(shù)都等于0, 因為PN是次數(shù)為0的多項式.)

3.?N階余項RN?(x),或稱為N階誤差項是f(x) -?PN?(x).則對任意N有

余項表達式為

其中c一般是求不出來的, 它介于x與a之間.

4. 所以,?f(x)的完整表達式為

5. 無窮級數(shù)

被稱為f(x)關(guān)于x?=?a的泰勒級數(shù).對任何特定的x, 該級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 若對任意特定的x,余項RN?(x)當N?→ ∞時收斂于0, 則對該x我們有

即, 在點x,?f(x)等于它的泰勒級數(shù)(關(guān)于x?=?a).

6. 對特別的情形a?= 0, 泰勒級數(shù)為

即f(x)的麥克勞林級數(shù). 所以,當看到“麥克勞林級數(shù)”時, 可以把它看作“關(guān)于x?= 0的泰勒級數(shù)”.

25.2　求泰勒多項式與泰勒級數(shù)

如果欲求特定的泰勒多項式或級數(shù), 若幸運的話,可以通過對已知的泰勒多項式或級數(shù)的運算來求得想要的多項式或級數(shù).我們將在26.2節(jié)來討論相應(yīng)的一些方法. 不幸的是,情況并不總是這樣：有時你需要從前面的總結(jié)中將f關(guān)于x?=a的泰勒級數(shù)分離出來：

知道了數(shù)a和函數(shù)f, 還需要求出f的所有導(dǎo)數(shù)在x?=a的值, 然后將它們代入上述公式. 然而,這是很討厭的！求一次或兩次導(dǎo)就已經(jīng)很麻煩了,求成百上千次導(dǎo)數(shù)就太荒謬了.對于只求低次泰勒多項式來說還不是那么糟糕, 因為只需計算少量導(dǎo)數(shù).我們將在26.2節(jié)討論一些可以幫你避開上面這些公式的好方法,如果你很幸運.

　另一方面,有些函數(shù)是很容易求導(dǎo)的. 一個這樣的例子是定義為f(x) = ex的函數(shù)f, 上一章我們討論了它的麥克勞林級數(shù).若你不想求f的麥克勞林級數(shù), 而是想求它的關(guān)于x?= -2的泰勒級數(shù)怎么辦？將上面公式中的0用a?= - 2代換, 可得

對n的許多值, 我們需要求f(n)( - 2),所以構(gòu)造一個導(dǎo)數(shù)的表格是很有幫助的. 一般的, 表格的模板形式如下.

n

f(n)(x)

f(n)(a)

0	?	?
1	?	?
2	?	?
3	?	?

首先應(yīng)填中間的一列. 從最上一行的函數(shù)本身開始, 持續(xù)求導(dǎo).每次求完導(dǎo)后, 將結(jié)果寫在表的下一行(仍為中間一列).當中間那列填滿后, 將x?=?a代入中間列的每一個值,將相應(yīng)的結(jié)果填在同行的第三列上. 注意可能要更多行,這取決于n的大小或計算的快慢. 在我們的例子中,?a?= -2且f(x)的所有導(dǎo)數(shù)均為ex, 所以填完的表如下.

n

f(n)(x)

f(n)(-2)

0	ex	e-2
1	ex	e-2
2	ex	e-2
3	ex	e-2

很清楚：對所有n,?f(n)( - 2) = e?- 2,若將其代入上面的公式：

得到ex關(guān)于x?= - 2的泰勒級數(shù)：

不用求和號而將其展開是個好主意：

　還有另一個例子：求sin(x)關(guān)于x?= π / 6的泰勒級數(shù), 寫出直到第四階的項.我們從導(dǎo)數(shù)表開始.

n

f(n)(x)

f(n)(π/6)

0	sin(x)	1/2
1	cos(x)
2	-sin(x)	-1/2
3	-cos(x)
4	sin(x)	1/2

這與我們用來求麥克勞林級數(shù)的表類似, 不過這里我們求π /6處的導(dǎo)數(shù)而不是0處的導(dǎo)數(shù). 寫出泰勒級數(shù)的標準公式：

展開：

令a?= π / 6, 將上面表中的值代入上式得到sin(x)關(guān)于x?= π / 6的泰勒級數(shù)為

要將求和號的形式寫出來比較難,所以只做一個小小的化簡得到：

當然, 為了求四階泰勒多項式P4(x) (仍關(guān)于中心x?= π /6), 只需去掉后面的“ + …”. 若只想求P3(x),還要去掉最后的那項, 則最后一項的冪次變?yōu)?：

(現(xiàn)在將2!換成了2, 3!換成了6.)另一方面, 若想求P5(x), 需要在上面的表尾再加對應(yīng)于n?= 5的一行, 則得到另外的項(x?-π / 6)5.

　另一個例子：(1 +?x)1 / 2的麥克勞林級數(shù)是什么？因為我們要求麥克勞林級數(shù),需要令a?= 0. 畫一個到四階導(dǎo)的表.

n

f(n)(x)

f(n)(0)

0		1
1		1/2
2		-1/4
3		3/8
4		-15/16

現(xiàn)在寫出麥克勞林級數(shù)的一般公式,

將上面表中的導(dǎo)數(shù)值代入可得

化簡得

實際上, 當x介于-1和1之間時,余項趨于0(這個證明比較棘手!). 所以當 - 1 <?x?< 1, 我們有

這是二項定理的一個特殊情形,即對 - 1 <?x?< 1, 有

除非a是非負整數(shù), 否則右邊的級數(shù)在x?> 1或x?< -1時都發(fā)散. (在這種情況下, 右邊實際為一個多項式. 能說出為什么嗎？)

25.3　用誤差項估算問題

在24.1.4節(jié), 我們用三階泰勒多項式P3來估算e?- 1 / 10,然后用余項R3來說明近似程度的好壞.現(xiàn)在我們來重新看一下這些方法并把它們一般化.

為了設(shè)置問題背景, 考慮下面的兩個相似的例子：

1. 用二階泰勒多項式估算e1 / 3, 并估算誤差;

2. 估算e1 / 3, 且誤差不得大于1 / 10 000.

第二個問題要比第一個難. 你也看到了,在第一個問題中我們要討論二階泰勒多項式, 故在我們的公式中令N?= 2.在第二個問題中, 我們實際是要找到N, 這是我們需要考慮的另一件事情.

　用這兩個問題來檢驗一下求解估值(或近似)問題的一般方法.

1. 看一下要估算什么, 選擇一個相關(guān)的函數(shù)f. 在我們上面的例子中,我們要估算e某式, 所以令f(x) = ex. 然后, 我們將令x?= 1 / 3, 這是由于f(1 / 3) = e1 /3, 這就是我們要估算的量.

2. 選一個接近x值的數(shù)a, 這樣f(a)就很理想了. 這就意味著,你應(yīng)該能寫出f(a)的值, 對f'(a)、f''(a)等等也一樣.在我們的例子中, 我們將令a?= 0, 因為它很接近1 / 3, 且e0較易計算.

3. 如我們上一節(jié)所做的那樣, 做f的導(dǎo)數(shù)表. 它應(yīng)該有三列,分別代表n、?f(n)(x)和f(n)(a)的值.若你知道所用的泰勒多項式的階, 則這就是你需要的N的值,一定要保證表中導(dǎo)數(shù)計算到第(N?+ 1)階. 否則,你就盡管一行行往下寫吧, 直到厭煩為止, 只要需要, 就一直能寫下去.

4. 若你不介意估算的誤差, 直接跳到第8步; 否則, 寫出RN(x)的公式：

確保注明“c在a與x之間”,同時注意整個過程中用a的實際值替代a.

5. 若已知所用泰勒多項式的階, 在上述公式中將N替換為該數(shù);若不知道, 根據(jù)你所需要的誤差的大小做猜測. 誤差越小,?N應(yīng)該越大.對于很多問題來說,?N?= 2或3就可以了. 若該猜測值是錯的,那應(yīng)該很快就能知道, 這時只需用較大的值N重復(fù)這一步和下面兩步.

6. 現(xiàn)在, 用你想用的值代換RN?(x)公式中的x. 除了c以外,沒有其他的未知變量, 且可以用不等式寫下c的可能范圍.在我們的例子中, 由a?= 0和x?= 1 / 3知,?c介于兩者之間,可寫為0 <?c?< 1 / 3.

7. 求|RN?(x)|的最大值,?c在適當?shù)膮^(qū)間里.這就是誤差可能的大小. 若已知N的值, 就基本已經(jīng)完成誤差估算了.若不知道, 則用你想要的誤差來與實際誤差比較. 若實際誤差較小,這就太好了, 你已經(jīng)找到了一個較好的N值. 反之,你就要加緊回到步驟5再來一次. (我們將在25.3.6節(jié)討論一些|RN(x)|極大化的方法.)

8. 最后, 是求實際估算的時候了！寫下PN(x)的公式：

現(xiàn)在將a與N換成前面所得值而得到一個只含有x的公式. 最后,寫出近似

并代入所需的x的實際值. 右邊將是你想要的量,而左邊將是近似值.

9. 如果需要的話還有另一個信息：若RN?(x)是正的, 則估算為低估;若RN?(x)為負, 則估算是高估.這些結(jié)果遵從如下等式

現(xiàn)在, 我們來看一下有關(guān)這些類型問題的5個例子.

25.3.1　第一個例子

　我們最好從前一節(jié)的兩個問題開始.在第一個問題中, 我們想用二階泰勒多項式來估算e1 / 3.這個問題其實與24.1.4節(jié)中包含e?- 1 / 10的問題很相似.不管怎樣, 我們還用前面的方法. 從選擇f開始. 因為要求冪, 令f(x) =ex且注意e1 / 3就是f(1 / 3). 最后, 我們令x?=1 / 3, 但這還不算完, 我們還要選擇接近1 / 3的a使得ea足夠精密. 如我前面提到的, 很自然的選0.

現(xiàn)在, 該寫導(dǎo)數(shù)表了.

n

fn(x)

fn(0)

0	ex	1
1	ex	1
2	ex	1
3	ex	1

我求到3階導(dǎo), 因為它剛好大于2,我們需要二階泰勒多項式(即N?= 2). 好, 繼續(xù). 誤差項為

其中c介于0與x之間. 注意在RN?(x)的標準公式中,我將a換成了0. 現(xiàn)在, 我們知道N?= 2, 所以我們實際需要

在前面的表中, 將中間一列的最后一行的x換成c,得到f(3)(c) = ec. 現(xiàn)在將x換為1 / 3可得

這里c介于0與x?= 1 / 3之間, 故0 <?c?< 1 / 3.取絕對值有：

這是因為ec必為正. 接下來, 我們需要最大化|R2?(1 / 3)|. 由于ec關(guān)于c遞增, 最大值出現(xiàn)在c= 1/ 3時. 這就有

似乎有一個問題, 我們不知道e1 / 3是多少.這其實是該問題的首要點！沒關(guān)系, 我們來粗略的高估一下e1 /3. 你知道, e < 8, 所以e1 / 3?< 81 / 3,而81 / 3為2.我為什么選8呢？因為我可以什么都不用想的直接取它的三次方根！總之,運用不等式e1 / 3?< 2, 前面|R2?(1 / 3)|的不等式變?yōu)?/p>

所以誤差不大于1 / 81. 我們?nèi)孕枨蠊浪阒? 寫下P2(x)的公式, 運用結(jié)果a?= 0：

根據(jù)前面的表, 將f(0)、f'(0)和f''(0)換為1：

最后, 令x?= 1 / 3可得

由于, 我們有

運用f(x) = ex, 我們有

我們已經(jīng)得到了|R2?(1 / 3)| < 1 / 81,所以估算值至少精確到1 / 81. 其實, 因為R2?(1 / 3)是正的,我們的估算值25 / 18相對于e1 / 3真實值是低估了.

25.3.2　第二個例子

　我們將討論25.3節(jié)的第二個例子：估算e1 / 3的值, 且誤差小于1 / 10 000. 與前一個例子一樣,我們令f(x) = ex,a?= 0, 最后令x?= 1 / 3, 我們有

其中c介于0與x之間. 我們已經(jīng)從前一個例子知道,不能令N?= 2, 因為會得到一個最大的誤差1 / 81,而我們需要誤差小于1 / 10 000. 所以, 我們來看一下N?= 3是否可行.現(xiàn)在誤差項為

其中c介于0與x之間. 令x?= 1 / 3可得

其中0 <?c?< 1 / 3. 我們?nèi)砸们耙还?jié)的結(jié)論,當c介于0與1 / 3之間時, ec?< 2：

這個結(jié)果并不小于1 / 10 000, 所以N?= 3不夠大.我們試一下N?= 4. 重復(fù)上面的步驟, 我們有

所以令x?= 1 / 3, 可知

c還是介于0與1/3之間, 同樣有ec?< 2, 所以

(若想用計算器來計算最后的那個分數(shù), 再想一下,其實你可以將2 / 120化簡為1 / 60, 然后算出6 × 243,再乘以10, 最后寫在分母上.)不管怎樣, 我們知道|R4?(1 / 3)|遠小于1 / 10 000, 所以目的達到了: 我們可令N?= 4,那估算值是多少呢？我們需要求出P4?(1 / 3). 一般的, 當a?= 0,四階泰勒多項式P4為

所以

即

所以, 我們可以將前面一個例子中的估算值25 /18替換為一個更好的估算, 即2 713 1 944.這個新的估算值保證與e1 / 3真實值誤差在1 / 10 000以內(nèi).作為驗證, 我的確用計算器算出2 713 /1 944精確到5位小數(shù)的值為1.395 58, 而e1 /3精確到5位小數(shù)為1.395 61. 這些量最多差0.000 04,顯然在允許的范圍1 / 10 000 = 0.000 1之內(nèi).

25.3.3　第三個例子

　這里有一個問題：估算, 誤差不大于1 / 250. 根據(jù)前面的方法,我們需要選擇一個合適的函數(shù)f和a與x值. 一個較好的選擇是令, 或者f(x) = x1 / 2, 隨便哪個都行.我們要估算的值, 所以最后令x?= 27.現(xiàn)在要找一個接近27且易求平方根的數(shù). 似乎25就可以, 我們令a?= 25,這是第一步. 現(xiàn)在看第二步, 畫一個導(dǎo)數(shù)表.

n

fn(x)

fn(25)

0		5
1		1/10
2		-1/500
3		3/8×1/55

記住, 要填這個表, 在首行的中間那一列 填上x1 / 2,然后連續(xù)求幾次導(dǎo), 將結(jié)果填在中間列的后面幾行. 最后,右邊那列的輸入是將值a?= 25代入所得值.困難是我們不知道這個表需要填到第幾行. 或可能需要更多行.

現(xiàn)在我們來看誤差項

其中c介于0與25之間. 因為我們關(guān)注的是x?= 27,將其代入：

其中25 ≤?c?≤ 27. 現(xiàn)在, 感覺有多幸運？或許N?=0就夠好了！我們來試一下：

其中我們利用前面的表來求f'(c)并去掉了絕對值,因為所有數(shù)都是正的. 現(xiàn)在的大問題是, 對給定的25 ≤?c?≤ 27,c?- 1 / 2有多大？注意c?- 1 / 2關(guān)于c遞減, 所以當c?=25有最大值. 則c?- 1 / 2即25?- 1 / 2?= 1 / 5. 所以,我們有

故誤差可能高達1 / 5. 有點太高了：我們需要誤差不大于1/ 250. 所以選擇N?= 0, 顯然有點太過于樂觀了！我們需要更好點.試一下N?= 1, 則

同樣用前面的表來求f''(c). 這次我要用絕對值, 因為R1(27)是負的(肯定的, 我們正朝高估發(fā)展). 還是當c最小時c?- 3 /2最大, 即c?= 25, 這時表達式為25?- 3 / 2?= 1 / 125, 所以

這就意味著誤差不大于1 / 250, 而這正是我們想要的.因此取N?= 1, 我們只需求P1?(27). (因為N?= 1,這里我們其實運用了線性化.)總之, 我們知道了

其中我們從前面的表中得到f(25)和f'(25)的值, 令x?=27, 我們有

我們得到近似等于26 / 5的結(jié)論,其實這兩個數(shù)之間的差在1 / 250之內(nèi), 且26 / 5高估了(因為誤差項R1?(27)是負的). 事實上, 計算器算出的約為5.196 15, 而26 / 5 = 5.2的差在1 / 250之內(nèi). 對N?=2或更大的值的情況, 估算值不會錯, 反而會更好,不過數(shù)會變得更雜亂一些.

25.3.4　第四個例子

　為了提出本節(jié)的問題,我們將前面的問題做一個小的變動. 我們將換成, 現(xiàn)欲估算的誤差不大于1 / 250的值.這也沒比前面的例子更難多少, 是吧？然而, 也不盡然.我們來看下會發(fā)生什么. 我們?nèi)詫⒉捎胒(x) =?x1 / 2,?a?=25的泰勒級數(shù), 不過這里需要將x?= 27換為x?= 23.我們來看一下在前一個例子中表現(xiàn)很好的余項R1：

這就是前面一個例子的誤差項！不過有一個很重要的不同：現(xiàn)在c介于23和25之間.所以?有多大呢？這個量仍關(guān)于c遞減,所以隨著c的減小, 其值變成最大值, 即當c?= 23時值最大.因此有如下的估算：

不幸的是, 23?- 3 / 2并不比25?- 3 / 2好算.我們唯一可以肯定的是這種情況不夠好. 你知道,?, 但大于1 / 250, 所以太大了. 所以N?= 1不行, 需要試一下N?= 2.

取N?= 2并運用25.3.3節(jié)的表, 有

其中23 ≤?c?≤ 25. 這次當c?= 23時,?c?- 5 /2還是最大的, 因此我們有

這個夠好嗎？沒有計算器, 我們將不得不尋找一些估算23?-5 / 2的方法. 朋友,怎么來實現(xiàn)呢？我能想到的最好的辦法就是找一個小于23的數(shù),并且這個數(shù)的 - 5 / 2次冪是容易算出來的. 那應(yīng)該是16, 而16?- 5/ 2?= 1 / 45?= 1 / 1 024, 所以

這個值當然小于1 / 250, 所以采用N?= 2是可以的,我們就可以用P2?(23)了. 現(xiàn)在

(再一次利用那個表), 將x用23代換, 我們有

因此對的估算值是1 199 / 250.計算器對最后那個分數(shù)的計算結(jié)果等于4.796, 而的計算結(jié)果為4.795 83. 這兩個數(shù)的差的確在1 / 250范圍內(nèi).

25.3.5　第五個例子

　我們再來看一個例子：用三階泰勒級數(shù)估算cos(π / 3 - 0.01)的值, 并給出該估算的精確度. 我們需要選擇一個函數(shù),顯而易見的函數(shù)是f(x) = cos (x), 所以我們要在后面令x?= π / 3- 0.01. 那余弦值易求且接近于x的數(shù)是什么呢？顯然a?= π /3是一個天然的候選項. 故我們得到如下的表.

n

fn(x)

fn(π/3)

0	cos(x)	1/2
1	-sin(x)
2	-cos(x)	-1/2
3	sin(x)
4	cos(x)	不需要

誤差項R3?(x)為

其中c介于x與π / 3之間.注意我們需要的是f(4)(c)而不是f(4)(π / 3),這就解釋了上表中“不需要”的用處. 當x?= π / 3 - 0.01, 我們有

(這里我們使用了( - 0.01)4?= (0.01)4?= (10?- 2)4?=10?- 8.)現(xiàn)在我們只需估算誤差項的絕對值. 鑒于|cos (c)| ≤ 1, 我們有

太好了, 我們知道運用P3?(π/ 3 - 0.01)來估算cos (π / 3 -0.01)會使得估算值精確到很小的一個數(shù)1 / 2 400 000 000. 那P3(π / 3 - 0.01)是多少呢？一般的有

應(yīng)用上面的導(dǎo)數(shù)表, 變?yōu)?/p>

令x?= π / 3 - 0.01并化簡, 結(jié)果是

這個表達式看起來很麻煩, 但其實還不錯,唯一棘手的量是, 不過它本身是容易估算的,至少表達式中沒有三角函數(shù). 總之, 由于f(π / 3 -0.01)近似等于P3?(π / 3 - 0.01), 我們有

精確到1 / 2 400 000 000之內(nèi).

25.3.6　誤差項估算的一般方法

在前面所有例子中, 我們都要對某區(qū)間內(nèi)取值的c來估算|f(N?+ 1)(c)|. 這里是相應(yīng)的一些一般對策.

1. 不管c是多少, 你總能使用標準的不等式|sin (c)| ≤ 1和|cos (c)| ≤ 1.

2. 若函數(shù)f(N?+ 1)是遞增的, 則它的值在右端點處最大.在前面的前兩個例子中, 我們需求ec的最大值, 其中0 <?c?< 1/ 3. 由于ec關(guān)于c遞增, 我們可以說ec?< e1 / 3. 另一方面, 在24.1.4節(jié)的例子中, 我們也需要最大化ec, 不過這次 - 1 / 10 <?c?< 0. 同樣, 由于ec關(guān)于c遞增, 這個最大值就是e0?= 1, 即ec< e0?= 1.

3. 若函數(shù)f(N?+ 1)是遞增的,則它的最大值f(N+1)(c)出現(xiàn)在區(qū)間的左端點處. 例如,若已知c介于1和5之間, 則最大值1 / (3 +c)4出現(xiàn)在區(qū)間[1,5]的左端點處, 因為1 / (3 +?c)4關(guān)于c遞減.所以上面的表達式在c?= 1時最大, 相應(yīng)的值為1 / 44?= 1 / 256.

4. 一般的, 為了求最大值, 你可能還要求函數(shù)f(N+1)的臨界點.(具體求法見11.1.1節(jié).)

25.4　誤差估算的另一種方法

回想一下交錯級數(shù)判別法(見22.5.4節(jié)). 該判別法表明若級數(shù)是交錯的,且各項的絕對值遞減趨于0, 則級數(shù)收斂.收斂的原因是部分和關(guān)于真實極限值形成一種像溜溜球一樣的東西：這個部分和大點,下一個部分和小點, 再下一個大點, 等等. 每次,部分和都更接近真實極限值, 所以, 就像溜溜球正在失去動力.方法就是在級數(shù)中的每個點處, 每加一項都超越真實值,所以整個誤差小于下一項的絕對值.

我們用符號來表述這些. 假設(shè)從某函數(shù)f開始, 并求它關(guān)于x?=a的泰勒級數(shù).若碰巧你還知道級數(shù)對某些特定的x值收斂于f(x)(就像我們討論的一些函數(shù)一樣),則可以寫為

對那些你感興趣的特定的x值,上述級數(shù)若是各項絕對值遞減趨于0的交錯級數(shù), 則誤差小于下一項. 即

這里沒有討厭的c可擔(dān)心,這就足以成為我們運用這個理想結(jié)論的原因. 記住,上述結(jié)論只有當級數(shù)滿足交錯級數(shù)的三個條件時才成立！

　這里是該方法適用的例子.假設(shè)我們欲用麥克勞林級數(shù)來求定積分

誤差不大于1 / 3 000的估算值. 該積分好像是一個瑕點在t= 0的反常積分, 但其實t?= 0不是瑕點. 由洛必達法則可知

即, 被積函數(shù)在t?= 0并沒有趨于無窮, 所以積分不是反常的.不管怎樣, 剛剛只是觀察, 現(xiàn)在我們要解決問題.

第一個有用的方法是先構(gòu)造一個像上述積分的函數(shù), 令

則我們要估算的積分是f(1). 需求f的麥克勞林級數(shù). 為此,將cos (t)用它的麥克勞林級數(shù)代換, 該級數(shù)我們已在24.2.3節(jié)求得. 即

若稍作化簡, 可將其化簡成

現(xiàn)在求積分并計算在端點處的值：

　嘗試將上式用求和號表示是一個很好的做法.總之, 現(xiàn)在可將x?= 1代入得

說實話, 這里我將兩個更快的方法套在了一起. 首先,我將cos (t)用它的麥克勞林級數(shù)代替.還好我們已經(jīng)在24.2.3節(jié)知道這對所有t都成立. 其次,我對無窮級數(shù)逐項求積分, 并聲明對所有x都可以這么做.我們將在26.2.3看到這么做是可以的(雖然我們不會對其證明). 總之,上面的等式是正確的. 現(xiàn)在給定的積分有一個無窮級數(shù)的表達式.

現(xiàn)在唯一的問題是, 要求與真實值誤差在1 /3 000內(nèi)的近似值需取多少項？注意該級數(shù)是各項遞減趨于0的交錯級數(shù),那么我們就可以運用下一項的絕對值大于誤差的結(jié)論. 例如, 若用首項1 /2!近似積分, 則誤差不大于1 / 3 × 4!, 即1 / 72. 這也太大了.那用前兩項來近似該積分怎么樣？即, 若用

怎樣？那么誤差小于下一項的絕對值：

|誤差|

這小于我們的容忍度1 / 3 000, 所以很好.我們完全可以說積分近似等于35 / 72, 誤差小于1 / 3 000.(我們甚至可以說35 / 72是低估的,為什么？)我用能處理這類問題的計算機程序求了一下積分,得到積分值約為0.486 385, 而計算器計算的35 /72值等于0.486 111(精確到6位小數(shù)), 這兩個數(shù)的差的確在1 /3 000內(nèi).

　作為練習(xí),試著近似

容忍度為1 / 1 000, 用與上面相同的方法做.(你將會用到sin (t)的麥克勞林級數(shù), 這個可在26.2節(jié)找到.)

from:?http://www.ituring.com.cn/tupubarticle/2333

《新程序員》：云原生和全面數(shù)字化實踐50位技術(shù)專家共同創(chuàng)作，文字、視頻、音頻交互閱讀

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的普林斯顿微积分读本：第 25 章　如何求解估算问题的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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