今天在吃飯的時(shí)候，其中一個(gè)人得知我的學(xué)校之后非要出一些 puzzle 來考我……口算都很困難的我覺得壓力山大，要給本校的 CS 算法天才們丟臉了。然后其中一道題就是十二球重量的問題，似乎是一個(gè)經(jīng)典面試題。當(dāng)時(shí)想了一下覺得確實(shí)是可以放在之前看的一些 Compressive Sensing 框架下來考慮這個(gè)問題，后來去查了一下，發(fā)現(xiàn)果真如此。

十二球問題是說，現(xiàn)在有十二個(gè)球，其中有一個(gè)是“異類”，除了這個(gè)異類之外，其他十一個(gè)球的重量是相等的，而這個(gè)異類球可能比其他輕或者重，現(xiàn)在提供一個(gè)天平，要求你通過最多三次天平測(cè)量，找出哪個(gè)球重量和其他不一樣，并得出是輕還是重的結(jié)論。

仔細(xì)想一下發(fā)現(xiàn)做一次天平測(cè)量相當(dāng)于做一次 linear measurement，將球編號(hào)為?，排成一個(gè)向量記為??的話，做一次測(cè)量相當(dāng)于用??去內(nèi)積一個(gè)向量?，其中??的元素可能是??或者?。?表示放在天平左邊，?放在天平右邊。用??表示正常球的質(zhì)量，?表示異常球的質(zhì)量，則

其中??是一個(gè)全??的向量，而??是第??個(gè)位置為?，其他位置為零的向量，這里假設(shè)第??個(gè)球是異類球，但是??的值目前未知。注意我們?cè)跍y(cè)量的時(shí)候一定是會(huì)在左邊和右邊放上同樣數(shù)目的球，否則測(cè)出的結(jié)果一般情況下得不到任何有用的信息：所以??向量里正負(fù)??的數(shù)目應(yīng)該是一樣多的，于是?，也就是說：。

題目要求我們使用三次測(cè)量，分別記為?，排成矩陣為?(題目并沒有限制不能使用 adaptive 的測(cè)量方法，也就是說，根據(jù)上一次測(cè)量的結(jié)果動(dòng)態(tài)地決定接下來測(cè)量那些球。但是我們這里采用 non-adaptive，也就是事先就把三次測(cè)量全部定下來的方式。)

我們用??表示??矩陣的第??列，則

由于我們??的編碼中??表示放左邊，?表示放右邊，所以如果左邊重，我們的觀察值??會(huì)是負(fù)數(shù)，右邊重是正數(shù)，一樣重是零。由于我們的天平實(shí)際上不是刻度天平，所以我們的觀察值實(shí)際上是?(所以說我們剛才說的“測(cè)量是線性的”這個(gè)說法實(shí)際上是需要糾正的。)

也就是說，我們的觀察值實(shí)際上將會(huì)是矩陣的第??列或者該列的相反數(shù)，具體取決于異類球的質(zhì)量是比正常球大還是小。所以說，如果我們能將矩陣??設(shè)計(jì)為任意兩列以及它們的相反數(shù)都互不相等的話（當(dāng)然還必須滿足每一行的??個(gè)數(shù)相等），就可以根據(jù)這個(gè)測(cè)量矩陣找出異類球的位置??了。具體的做法就是直接拿測(cè)量結(jié)果去和??的每一列比較，如果和其中第??列相等的話，那么異類球就是第??個(gè)，并且重量比其他球大；否則再用測(cè)量結(jié)果的相反數(shù)去和??的每一列比較，相同的那一列對(duì)應(yīng)的就是異類球的標(biāo)號(hào)，并且此時(shí)異類球的質(zhì)量比普通球要小。

那么這樣的矩陣究竟能不能構(gòu)造出來呢？首先矩陣每一個(gè)元素可能的取值范圍是三個(gè)，矩陣有 3 行，所以所有可能的不同的列的個(gè)數(shù)為??個(gè)，除去全零（永遠(yuǎn)不測(cè)量該球）這種極端的情況，還剩 26 種，由于每一種情況和它的相反數(shù)的情況對(duì)應(yīng)起來，因此我們實(shí)際上會(huì)得到 13 種，任選 12 種填滿這十二列。下面是一個(gè)例子：

類似的算法可以推廣到做??次測(cè)量，可以在多少個(gè)球中找出異類球來上，就不在這里再具體說了。所以這和 Compressive Sensing 有什么關(guān)系呢？當(dāng)然在很多地方都是很相似的。首先??是一個(gè)“稀疏”的向量（除了一個(gè)位置之外其他的位置值都一樣），然后現(xiàn)在通過數(shù)目遠(yuǎn)小于??的維度的測(cè)量來恢復(fù)出原始的?來。其中有一點(diǎn)和普通的 CS 不一樣的是：這里并不是直接做原來的線性測(cè)量，而是在通過一個(gè)矩陣進(jìn)行線性投影之后，測(cè)量結(jié)果的符號(hào)：，稍微忽略掉等于零的情況的話，一個(gè)符號(hào)??可以用一個(gè) bit 來表示，所以這樣的特殊的設(shè)定通常稱為 1-bit Compressive Sensing。

由于??是一個(gè)非線性函數(shù)，所以這里的測(cè)量也是和普通 CS 不同的非線性測(cè)量。問題的設(shè)定也有些不同，因?yàn)楹苋菀卓梢钥吹降氖?#xff1a;原始向量??的長度信息永久丟失了，因?yàn)閷?duì)于任意正數(shù)?，，所以通常情況下會(huì)嘗試恢復(fù)一個(gè)單位長度的向量?。更常見的設(shè)定是只尋找??的非零元素的位置，而不去管具體的值，比如對(duì)應(yīng)我們剛才的問題，就是找出??是多少，通常叫做 support recovery。這通常被認(rèn)為是更加 achievable 的目標(biāo)。

在 1-bit CS 里，除了普通 CS 里常用的隨機(jī)高斯或者伯努利測(cè)量矩陣之外，由于問題設(shè)定和 Computer Science 里的?Group Testing?問題也聯(lián)系更加緊密一些，所以還有許多通過巧妙地構(gòu)造出來的特殊矩陣配合上專門的恢復(fù)算法（而不是簡(jiǎn)單的?-norm 最小化）可以來完成給定的目標(biāo)。

另外，介于 1-bit CS 和普通的 CS 之間還可以有?-bits CS，因?yàn)槲覀冊(cè)陔娮佑?jì)算機(jī)上處理數(shù)據(jù)的時(shí)候?qū)嶋H上是沒有用無限精度來表示測(cè)量值的，總是在一定程度上做了 quantization，這個(gè) quantization 的步驟（也就是用??個(gè) bit 來近似真正的觀察值）會(huì)產(chǎn)生怎樣的影響，以及??的取值會(huì)對(duì)結(jié)果精度產(chǎn)生什么樣的 trade-off，這也是目前 CS 里正在被研究的一個(gè)問題。

from:?http://freemind.pluskid.org/machine-learning/a-compressed-sense-of-compressive-sensing-ii/

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的压缩感知(II) A Compressed Sense of Compressive Sensing (II)的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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