数字图像处理：第十章 离散图象变换
第十章 離散圖象變換
目錄
1?????????基本概念
1.1?????? 一維離散線性變換、酉變換、正交變換
1.2?????? 二維離散線性變換、酉變換、正交變換
1.3?????? 基函數和基圖象
2?????????正弦型變換
2.1?????? 離散傅立葉變換（DFT）
2.2?????? 離散余弦變換（DCT）
2.3?????? 離散正弦變換（DST）
2.4?????? Hartley變換
3?????????方波型變換
3.1?????? Walsh-Hardamard變換
作業
1. 基本概念
1.1 一維離散線性變換、酉變換、正交變換
??? 設x是的向量，T是一個的矩陣，則線性變換定義為：
| ? | |
| ? |
變換的結果y是輸入元素的一階和構成的，實際上結果向量的每個元素yi是輸入向量x和T的第i行的點積。
例如，平面坐標系中的向量旋轉變換：
| ? | |
| ? |
逆變換：當T是非奇異的，逆變換存在：
特別地當T是酉矩陣時，就成為酉變換；如果酉矩陣的所有元素都是實數時就是正交變換。
| ? | |
| ? |
?
1.2 二維離散線性變換、酉變換、正交變換
??? 在二維情況下，將一個的矩陣f(x,y)變換為另一個的矩陣g(u,v)的線性變換一般形式為
是變換的核函數，可以看作是一個的塊矩陣，每行有N個塊，共有N行，每個塊是一個的矩陣。塊由u,v索引，塊內由x,y索引。
??? 當核函數能被分解成行方向的分量函數和列方向上的分量函數的乘積時，即
通常圖象變換采用如上示形式的可分離的、對稱的酉變換。其反變換為
| ? | |
| ? |
?
1.3 基函數和基圖象
??? 酉變換的核矩陣的行向量構成了N維向量空間的一組基。它們是彼此正交的，即
通常基向量都取自同一種形式的基函數，例如傅立葉變換就是使用復指數作為其基函數的原型，各個基函數之間只是頻率不同。
??? 在標準基下（單位長度的正交向量組），空間中的任何向量都可表示成基向量的加權和。而酉變換與向量空間中的旋轉一一對應。一個的圖象可以看成的向量，因此圖象的二維的、對稱的、可分離的酉變換對應著一個N2維向量空間中的旋轉。
??? 二維反變換可以看作是用一組基圖象的加權和重構原圖象。變換矩陣中的每個元素就是其對應基圖象在求和時的權值。
??? 基圖象可以通過對只含有一個非零元素（數值為1）的系數矩陣求反變換而產生。共有個基圖象。對于可分離的酉矩陣，基圖象實際上就是變換矩陣某兩行的外積：
| ? | |
| ? |
?
??? 圖象正變換通過確定系數來實現分解，反變換通過基圖象的加權和實現重構。
2. 正弦型變換
??? 以正弦型函數為基函數的變換包括傅立葉變換、余弦變換等。
2.1 離散傅立葉變換（DFT）
| ? | |
| ? |
?
設F是矩陣形式的圖象，G是它的譜矩陣：
DFT的核矩陣是：
| ? | |
| ? |
?
2.2 離散余弦變換（DCT）
??? 二維離散余弦變換定義為：
| ? | |
| ? |
?
??? DCT的酉矩陣形式：
| ? | |
| ? |
???
與DFT不同的是，DCT是實值的，在圖象壓縮領域有廣泛的應用。可以用快速傅立葉變換算法實現快速離散余弦變換。
DCT變換的例子如下：左側為原圖象，右側為DCT變換圖象。
??
?
2.3 離散正弦變換（DST）
| ? | |
| ? |
2.4 Hartley變換（DHT）
| ? | |
| ? |
???
DHT實際上是DFT的另一種計算方法，由于它避免了復數計算，從而可以大大地減少計算量。
3. 方波型變換
??? 為了減少計算量，還有一類圖象變換采用方波型基函數。
3.1 Walsh-Hardamard變換
??? Walsh-Hardamard變換是對稱的、可分離的酉變換，它的核矩陣中只有+1和-1兩種元素。它的維數N=2n,其中n是整數。核矩陣按如下方式構造：
作業
1.??? 利用Matlab工具編制圖象變換程序，如DCT。
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清華大學計算機系 艾海舟
最近修改時間：2001年7月18日
出處：http://media.cs.tsinghua.edu.cn/~ahz/digitalimageprocess/CourseImageProcess.html
總結
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