本節(jié)書(shū)摘來(lái)自華章出版社《計(jì)算機(jī)科學(xué)概論》一書(shū)中的第3章，第3.2節(jié)數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)表示法，作者［美]內(nèi)爾·黛爾（Nell Dale）約翰·路易斯（John Lewis），更多章節(jié)內(nèi)容可以訪問(wèn)云棲社區(qū)“華章計(jì)算機(jī)”公眾號(hào)查看。

3.2　數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)表示法
數(shù)值是計(jì)算機(jī)系統(tǒng)最常用的數(shù)據(jù)類型。與其他數(shù)據(jù)類型不同的是，不必把數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)映射到二進(jìn)制代碼。因?yàn)槎M(jìn)制也是一種記數(shù)系統(tǒng)，所以在數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)和計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)的表示它們的二進(jìn)制數(shù)值之間有種自然對(duì)應(yīng)的關(guān)系。通常對(duì)正整數(shù)來(lái)說(shuō)都是這樣的。在第2章關(guān)于二進(jìn)制系統(tǒng)和其他等價(jià)記數(shù)系統(tǒng)的討論中，我們介紹了整數(shù)轉(zhuǎn)換的問(wèn)題。但是，還有其他關(guān)于數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)表示法的問(wèn)題需要考慮，整數(shù)不過(guò)是數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)的一部分。這一節(jié)將討論負(fù)數(shù)和非整數(shù)數(shù)值的表示法。
3.2.1　負(fù)數(shù)表示法
負(fù)數(shù)只是前面帶有負(fù)號(hào)的數(shù)嗎？也許吧。這當(dāng)然是看待負(fù)數(shù)的有效方式之一。讓我們來(lái)探討關(guān)于負(fù)數(shù)的問(wèn)題，討論在計(jì)算機(jī)上表示負(fù)數(shù)的適當(dāng)方式。
符號(hào)數(shù)值表示法
從初次在中學(xué)學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)開(kāi)始，你就使用過(guò)數(shù)的符號(hào)數(shù)值表示法。在傳統(tǒng)的十進(jìn)制系統(tǒng)中，數(shù)值之前帶有符號(hào)（+或-），只不過(guò)正號(hào)通常被省略。符號(hào)表示了數(shù)所屬的分類，數(shù)字表示了它的量值。標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)數(shù)直線圖如下，其中負(fù)號(hào)表示該數(shù)位于0的左側(cè)，正數(shù)位于0的右側(cè)。

符號(hào)數(shù)值表示法（signed-magnitude representation）：符號(hào)表示數(shù)所屬的分類（正數(shù)或負(fù)數(shù)）、值表示數(shù)的量值的數(shù)字表示法。

對(duì)帶符號(hào)的整數(shù)執(zhí)行加法和減法操作可以被描述為向一個(gè)方向或另一個(gè)方向移動(dòng)一定的數(shù)字單位。要求兩個(gè)數(shù)的和，即找到第一個(gè)數(shù)的刻度，然后向第二個(gè)數(shù)的符號(hào)所示的方向移動(dòng)指定的數(shù)字單位。執(zhí)行減法的方式一樣，即按照符號(hào)所示的方向沿著實(shí)數(shù)直線圖移動(dòng)指定的單位。在中學(xué)，即使不使用實(shí)數(shù)直線圖，你也能夠很快掌握加法和減法運(yùn)算。
符號(hào)數(shù)值表示法有一個(gè)問(wèn)題，即表示0的方法有兩種：一種是+ 0，一種是- 0。我們不會(huì)對(duì)- 0感到迷惑，忽略它即可。但是，在計(jì)算機(jī)中，0的兩種表示法卻會(huì)引起不必要的麻煩，所以還有其他表示負(fù)數(shù)的方法。讓我們來(lái)分析另一種負(fù)數(shù)表示法。
定長(zhǎng)量數(shù)
如果只允許用定量的數(shù)值，那么可以用一半數(shù)表示正數(shù)，另一半數(shù)表示負(fù)數(shù)，符號(hào)由數(shù)的量值決定。例如，假定能夠表示的最大十進(jìn)制數(shù)是99，那么可以用1到49表示正數(shù)1到49，用50到99表示負(fù)數(shù)- 50到- 1。這種表示法的實(shí)數(shù)直線圖如下所示，它標(biāo)示了上面的數(shù)對(duì)應(yīng)的負(fù)數(shù)。

在這種模式下執(zhí)行加法，只需要對(duì)兩個(gè)數(shù)求和，然后舍棄進(jìn)位即可。求兩個(gè)正數(shù)的和應(yīng)該沒(méi)有什么問(wèn)題，讓我們來(lái)嘗試求一個(gè)正數(shù)加一個(gè)負(fù)數(shù)、一個(gè)負(fù)數(shù)加一個(gè)正數(shù)以及兩個(gè)負(fù)數(shù)相加。下表分別列出了用符號(hào)數(shù)值表示法和用這種模式執(zhí)行的加法運(yùn)算。（注意，進(jìn)位被舍棄了。）
符號(hào)數(shù)值表示法 新模式
?????5

• ?- 6
  ???- 1 ????5
• ?94
  ???99

???- 4

• ???6
  ?????2 ???96
• ??6
  ????2

???- 2

• ?- 4
  ???- 6 ???98
• ?96
  ???94

用這種模式表示的負(fù)數(shù)的減法運(yùn)算又如何呢？關(guān)鍵是加法和減法之間的關(guān)系，即A - B=A + (- B)。從一個(gè)數(shù)中減去另一個(gè)數(shù)，等價(jià)于給第一個(gè)數(shù)加上第二個(gè)數(shù)的負(fù)數(shù)。
符號(hào)數(shù)值表示法 新模式 加負(fù)數(shù)
??- 5

• ??3
  ??- 8 ???95

• ??3

  ????95
• ??97
  ????92

在這個(gè)例子中，我們假定只有100個(gè)數(shù)值，這個(gè)數(shù)量非常小，使我們能夠用實(shí)數(shù)直線圖來(lái)計(jì)算一個(gè)數(shù)的負(fù)數(shù)（Negative）表示法。不過(guò)，要計(jì)算負(fù)數(shù)表示法，可以采用下列公式。
Negative (I) = 10k - I，其中k是數(shù)字個(gè)數(shù)
在兩位數(shù)字表示法中，求- 3的表示法的公式如下：

• (3) = 102 - 3 = 97
  在三位數(shù)字表示法中，求- 3的表示法的公式如下：
• (3) = 103- 3 = 997
  這種負(fù)數(shù)表示法稱為十進(jìn)制補(bǔ)碼。雖然人類以符號(hào)和量值表示數(shù)字，但在電子計(jì)算中，補(bǔ)碼在某些方面更方便。由于現(xiàn)代計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)任何數(shù)據(jù)采用的都是二進(jìn)制，所以我們采用與十進(jìn)制補(bǔ)碼等價(jià)的二進(jìn)制補(bǔ)碼。

十進(jìn)制補(bǔ)碼（ten′s complement）：一種負(fù)數(shù)表示法，負(fù)數(shù)I用10的k次冪減I表示。
二進(jìn)制補(bǔ)碼
假定數(shù)字只能用八位表示，七位表示數(shù)值，一位表示符號(hào)。為了便于查看長(zhǎng)的二進(jìn)制數(shù)，我們把實(shí)數(shù)直線圖繪制成垂直的。

如果將十進(jìn)制替換為二進(jìn)制，那么補(bǔ)碼公式還會(huì)有效嗎？也就是說(shuō)，我們能不能用公式“Negative(I) = 2k - I”來(lái)計(jì)算用負(fù)二進(jìn)制表示的數(shù)值呢？讓我們嘗試看看：

• (2) = 27 - 2 = 128 - 2 = - 126
  十進(jìn)制數(shù)126用八進(jìn)制表示是176，用二進(jìn)制表示是11111110，但是左邊多了一個(gè)位數(shù)“1”。是出錯(cuò)了嗎？并不是，因?yàn)檫@是一個(gè)負(fù)數(shù)，最左邊的位數(shù)表示了這個(gè)數(shù)字是負(fù)數(shù)還是正數(shù)。如果最左邊一位是“0”，那么說(shuō)明這個(gè)數(shù)字是正數(shù)；如果是“1”說(shuō)明這個(gè)數(shù)字是負(fù)數(shù)。因此“- 2”表示為“11111110”。

有一個(gè)更簡(jiǎn)單的方法來(lái)計(jì)算二進(jìn)制補(bǔ)碼：將每一位取反再加一。也就是，取數(shù)字的正值，將所有“1”變成“0”，將所有的“0”變成“1”，再加1。

使用十進(jìn)制補(bǔ)碼計(jì)算加法和減法的方式和二進(jìn)制補(bǔ)碼是一樣的：



使用這種表示法，負(fù)數(shù)的最左邊一位總是1。因此，在二進(jìn)制補(bǔ)碼中，你可以立刻識(shí)別出一個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。
數(shù)字溢出
當(dāng)我們分配給結(jié)果的位數(shù)存不下計(jì)算出的值時(shí)，將發(fā)生溢出。例如，如果使用八位來(lái)存儲(chǔ)每個(gè)值，那么127加3的結(jié)果將溢出：



溢出（overf?low）：給結(jié)果預(yù)留的位數(shù)存不下計(jì)算出的值的狀況。
在我們的模式中，10000010表示- 126，而不是 + 130。但是，如果表示的不是負(fù)數(shù)，這個(gè)結(jié)果將是正確的。
溢出是把無(wú)限的世界映射到有限的機(jī)器上會(huì)發(fā)生的典型問(wèn)題。無(wú)論給一個(gè)數(shù)字分配多少位，總有潛在的表示這些位不能滿足的數(shù)的需要。對(duì)于如何解決溢出問(wèn)題，不同的計(jì)算機(jī)硬件和不同的程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言有自己獨(dú)特的方法。
3.2.2　實(shí)數(shù)表示法
在計(jì)算中，我們把非整數(shù)的值稱為實(shí)值。根據(jù)實(shí)數(shù)在計(jì)算機(jī)中的用途，把它定義為可能具有小數(shù)部分的值。也就是說(shuō)，實(shí)數(shù)具有整數(shù)部分和小數(shù)部分，每個(gè)部分都可能是0。例如，104.32、0.999?999、357.0和3.141?59都是十進(jìn)制實(shí)數(shù)。
我們?cè)诘?章中介紹過(guò)，用數(shù)字的位置表示數(shù)值，位值是由基數(shù)決定的。在十進(jìn)制中，小數(shù)點(diǎn)左側(cè)的位值有1、10、100，依此類推。它們都是基數(shù)的冪，從小數(shù)點(diǎn)開(kāi)始向左，每一位升高一次冪。小數(shù)點(diǎn)右側(cè)的位值也是這樣得到的，只不過(guò)冪是負(fù)數(shù)。所以，小數(shù)點(diǎn)右側(cè)的位置是十分位（10- 1或十分之一）、百分位（10- 2或百分之一），依此類推。
二進(jìn)制采用的是同樣的規(guī)則，只是基數(shù)為2。由于處理的不是十進(jìn)制數(shù)，所以使用radix point來(lái)命名小數(shù)點(diǎn)，任何記數(shù)系統(tǒng)都可以使用這個(gè)術(shù)語(yǔ)。在二進(jìn)制中，小數(shù)點(diǎn)右側(cè)的位置是二分位（2- 1或二分之一）、四分位（2- 2或四分之一），依此類推。
那么如何在計(jì)算機(jī)中表示一個(gè)實(shí)值呢？我們把實(shí)數(shù)存儲(chǔ)為一個(gè)整數(shù)加指示小數(shù)點(diǎn)位置的信息。也就是說(shuō)，任何實(shí)值都可以由三個(gè)屬性描述，即符號(hào)（正號(hào)或負(fù)號(hào)）、尾數(shù)和指數(shù)，尾數(shù)由該數(shù)值中的數(shù)字構(gòu)成，假定小數(shù)點(diǎn)在其右邊，而指數(shù)確定了小數(shù)點(diǎn)相對(duì)于尾數(shù)的位移。十進(jìn)制的實(shí)值可以用下列公式定義：
符號(hào)×尾數(shù)×10exp
這種表示法稱為浮點(diǎn)表示法，因?yàn)閿?shù)字的個(gè)數(shù)是固定的，但是小數(shù)點(diǎn)卻是浮動(dòng)的。在用浮點(diǎn)形式表示的數(shù)值中，正指數(shù)將把小數(shù)點(diǎn)向右移，負(fù)指數(shù)將把小數(shù)點(diǎn)向左移。
**小數(shù)點(diǎn)（radix point）：在記數(shù)系統(tǒng)中，把一個(gè)實(shí)數(shù)分割成整數(shù)部分和小數(shù)部分的點(diǎn)。
浮點(diǎn)表示法（f?loating point）：標(biāo)明了符號(hào)、尾數(shù)和指數(shù)的實(shí)數(shù)表示法。**
讓我們來(lái)看看如何把實(shí)數(shù)常用的十進(jìn)制表示法轉(zhuǎn)換成浮點(diǎn)表示法。例如，考慮實(shí)數(shù)148.69，符號(hào)是正號(hào)，小數(shù)點(diǎn)右邊有兩位數(shù)字，因此，指數(shù)是- 2，浮點(diǎn)表示法即14?869×10 - 2。表3-1給出了其他例子。為了便于討論，假設(shè)只能表示五位數(shù)字。



表3-1　十進(jìn)制表示法和浮點(diǎn)表示法表示的（五位數(shù)字）值
實(shí)　值 浮點(diǎn)值 實(shí)　值 浮點(diǎn)值
12001.00 12001100 - 123.10 - 12?31010- 2

• 120.01 - 1200110- 2 155?555?000.00 15?555103
  0.12000 12000*10- 5

如何把浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換回十進(jìn)制表示法呢？基數(shù)上面的指數(shù)說(shuō)明了小數(shù)點(diǎn)要移動(dòng)多少位。如果指數(shù)是負(fù)數(shù)，小數(shù)點(diǎn)要向左移；如果指數(shù)是正數(shù)，小數(shù)點(diǎn)要向右移。對(duì)表3-1中的浮點(diǎn)數(shù)應(yīng)用這個(gè)規(guī)則。
注意表3-1中的最后一個(gè)例子，它丟失了信息。因?yàn)槲覀冎槐４嫖逦粩?shù)字來(lái)表示有效數(shù)字（尾數(shù)），所以這個(gè)值的整數(shù)部分在浮點(diǎn)表示法中沒(méi)有被精確地表示出來(lái)。
同樣，下面的公式定義了一個(gè)二進(jìn)制浮點(diǎn)值：
符號(hào)×尾數(shù)×2exp
注意，只有基數(shù)改變了。當(dāng)然，尾數(shù)只能包含二進(jìn)制數(shù)字。要在計(jì)算機(jī)上存儲(chǔ)二進(jìn)制的浮點(diǎn)數(shù)，可以保存定義它的三個(gè)值。例如，根據(jù)一條通用準(zhǔn)則，如果用64位存儲(chǔ)一個(gè)浮點(diǎn)值，那么其中1位存儲(chǔ)符號(hào)，11位存儲(chǔ)指數(shù)，52位存儲(chǔ)尾數(shù)。當(dāng)一個(gè)值用于計(jì)算或顯示時(shí)，都會(huì)采用這種格式。
如果一個(gè)數(shù)不完整，那么如何才能得到尾數(shù)的正確值呢？在第2章中，我們討論過(guò)如何把自然數(shù)從一種記數(shù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到另一種記數(shù)系統(tǒng)。這里，我們用十進(jìn)制的例子說(shuō)明了在計(jì)算機(jī)中如何表示實(shí)數(shù)。我們知道，計(jì)算機(jī)中的所有數(shù)值都是用二進(jìn)制表示的。那么如何把十進(jìn)制數(shù)的小數(shù)部分轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制的呢？
把一個(gè)整數(shù)從十進(jìn)制轉(zhuǎn)換成其他數(shù)制，需要用新基數(shù)除這個(gè)數(shù)，余數(shù)是結(jié)果左邊的下一位數(shù)字，商是新的被除數(shù)，整個(gè)過(guò)程直到商為0終止。轉(zhuǎn)換小數(shù)部分的操作是類似的，只不過(guò)不是用新基數(shù)除這個(gè)數(shù)，而是用新基數(shù)乘它。乘法的進(jìn)位將成為答案右邊的下一位數(shù)字，乘法結(jié)果中的小數(shù)部分將成為新的被乘數(shù)，整個(gè)過(guò)程直到乘法結(jié)果中的小數(shù)部分為0截止。讓我們把0.75轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制的。
0.75 * 2 = 1.50
0.50 * 2 = 1.00
因此，十進(jìn)制中的0.75是二進(jìn)制中的0.11。讓我們?cè)僮鲆粋€(gè)轉(zhuǎn)換。

　　?0.435 * 2 = 0.870?0.870 * 2 = 1.740?0.740 * 2 = 1.480?0.480 * 2 = 0.960?0.960 * 2 = 1.920?0.920 * 2 = 1.840?…

因此，十進(jìn)制中的0.435是二進(jìn)制中的011011…。小數(shù)部分會(huì)變成0嗎？繼續(xù)乘下去，看看結(jié)果如何。
下面讓我們看一個(gè)完整的轉(zhuǎn)換過(guò)程：把十進(jìn)制的20.25轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制的。首先，轉(zhuǎn)
換20。

20在二進(jìn)制中等價(jià)于10100。現(xiàn)在我們來(lái)轉(zhuǎn)換小數(shù)部分：
0.25 * 2 = 0.50
0.50 * 2 = 1.00
因此，十進(jìn)制的20.25在二進(jìn)制中是10100.01。
科學(xué)記數(shù)法可能是你已經(jīng)熟悉的術(shù)語(yǔ)，所以我們?cè)谶@里只簡(jiǎn)要介紹一下。科學(xué)記數(shù)法是浮點(diǎn)表示法的一種形式，其中，小數(shù)點(diǎn)總在最左邊數(shù)字的右側(cè)。也就是說(shuō)，整數(shù)部分只有一位。在許多程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言中，如果在輸出一個(gè)大的實(shí)數(shù)值時(shí)沒(méi)有指定輸出格式，那么這個(gè)值將以科學(xué)記數(shù)法輸出。因?yàn)樵缙诘臋C(jī)器不能輸出指數(shù)，所以用字母“E”代替。例如，在科學(xué)記數(shù)法中，12001.32708將被寫(xiě)為1.200132708E + 4。

科學(xué)記數(shù)法（scientif?ic notation）：另一種浮點(diǎn)表示法。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的《计算机科学概论》—第3章3.2节数字数据表示法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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