晶振是雷達和通信系統的核心，其相位噪聲重要性在此不贅述。根據其原理，可將晶振大致分為兩種類型，共振型振蕩器和時間-波形型振蕩器[1]。共振型是指類似于電容-電感互相交換能量的類型，比如石英振蕩器、SAW、DRO、printed transmission line、集成電容-電感共振器。時間-波形類振蕩器是利用信號在傳輸過程中的延時，組成環形觸發的周期信號發生器。這里僅考慮共振型振蕩器的相位噪聲模型。

圖 1 共振型振蕩器原理圖

圖 2 環形振蕩器原理圖

相位噪聲是評估振蕩器優劣的一個主要指標，不贅述。研究其模型可以為實現相位噪聲更低的振蕩器提供有力的指導。根據研究層次的不同，可以將噪聲模型分為三種：線性時不變模型、線性時變模型和非線性時變模型。

對于這三種模型，其基本構成是一樣的，一個振蕩器由兩部分組成：帶通濾波器和放大器，如下圖所示。這種模型認為，振蕩器的噪聲來源于放大器，所不同的是，放大器的噪聲對于該系統的作用形式不一樣。下面首先介紹放大器的噪聲模型，然后再依次介紹這三種相位噪聲模型。

圖 3 振蕩器模型

一、放大器的噪聲

放大器的噪聲是振蕩器的相位噪聲根本來源。其噪聲基本可以建模為白噪聲和閃爍噪聲的疊加。其中白噪聲來自電子的熱運動等。

下面是一個放大器的噪聲測試結果：

圖 4 放大器的噪聲

二、線性時不變模型

線性時不變模型由Leeson在1966年提出[2]。該過程認為放大器中的噪聲在任意時刻對系統的影響是一樣的，即時不變特性。而且放大器中的噪聲對最終的相位噪聲影響是線性的，即線性性。

在圖3中，放大器輸入的信號為

，經過放大器后，其相位變為 ，其中是放大器的相位噪聲。因此放大器輸出的信號為 。該信號輸出通過帶通濾波器后，輸出到放大器輸入端。

應該認識到，一個系統是否是線性和我們對物理量的選取直接相關。如果我們選擇變量為環路中的電壓，那么顯然帶通濾波器就不是線性系統。這里我們選擇環路中的相位為觀察的物理量。那么這個帶通濾波器就可以建模為一個線性系統，設其脈沖響應為

，則 的關系為：

其中*為卷積運算。

取對上述公式計算其功率譜密度，可得：

又

,可得：

對于一個RLC組成的帶通濾波器，

其中

，為帶通濾波器的中心，Q為帶負載的品質因數。可得：

因此，在晶振的相位噪聲中，可以觀察到

,和 三種顏色的噪聲。

Leeson模型非常簡單，和實驗結果也很吻合，但是對實現低相噪的晶振的指導意義卻不大，這是因為公式中的幾個參數并不是可控的，例如F,

和Po。這幾個參數通常在晶振實現后，對實驗的數據進行擬合得到的。

其次，Leeson模型也有其數學上的固有缺陷，如果在非常靠近0頻率處，相位噪聲以

增長，那么其在DC處將無窮大，積分不收斂，這和實驗中觀察到的洛倫茲線性并不吻合。

振蕩器和激光器非常類似，甚至可以認為其本質上是一致的，那么Leeson噪聲就是激光器中的肖洛-湯斯極限。在Q值這一點上，也是非常類似的，當

很大時，反射鏡的反射率更高，激光器（振蕩器）的線寬更窄，但是其輸出也更小了。

三、線性時變模型

Leeson模型無法進行準確預測的根本原因在于晶振的整個系統并不是時不變的。如下圖所示，假設系統處于完美的正弦變化，當放大器中出現一個脈沖噪聲，系統的狀態將受到影響，如果這個脈沖處于正弦的最大值（或最小值）時出現，那么該噪聲將不影響振蕩器的過零點，即相位噪聲的影響最小。當脈沖處于正弦的過零點時，將對相位噪聲產生最大的影響。這就說明放大器噪聲對振蕩器的影響并不是時不變的，需要使用時變的模型來處理。

圖 5 振蕩器的時變特性原理圖

事實上，對于這種時變模型，可以采用敏感度函數的方法進行處理。這種處理方法非常類似于原子干涉儀和原子噴泉鐘里的處理方法，振動、拉曼光的相位噪聲對于最終信號的影響并不是線性的，當振動、相位噪聲發生在非拉曼作用時間內，將不影響最終的信號。拉曼光的相位噪聲的這種影響成為Dick效應。

如果振蕩器輸出是正弦信號，那么其敏感度函數為余弦函數，如果振蕩器輸出為非正弦周期信號，那么其敏感度函數可以認為是其輸出的微分，如下圖所示。

圖 6 振蕩器輸出與其敏感度函數

事實上，這一點在振蕩器設計的時候有很重要的意義。振蕩器的噪聲源為放大器，雖然我們可以挑選噪聲很小的放大器，甚至將放大器防在液氮、液氦等系統中以減小其熱噪聲，但是，其較大的敏感度函數仍然會限制其最終的相位噪聲。基于敏感度函數的方法，我們可以對振蕩器中的帶通濾波器和放大電路進行優化設計，減小其敏感度函數，從而減小放大器中的噪聲對振蕩器相位噪聲的影響。如圖6中最下方的圖所示。雖然其輸出不是標準的正弦信號，但是這個可以通過在輸出端加帶通濾波器濾除其高階項，從而得到相位噪聲極低的正弦信號。

下面簡單介紹敏感度函數對最終相位噪聲的影響。由于系統輸出一定是周期的信號，因此其敏感度函數也一定是周期信號，因此對其進行傅里葉展開：

其中是

振蕩器的主頻率。每一項對最終的相位噪聲的影響為：

其中Δω是圓傅里葉頻率，綜合所有的影響，可得：

如果可以通過設計減小，就可以減小振蕩器的相位噪聲。在這方面已經有一些研究了，下圖就是幾種微帶濾波器的設計[3]：

圖 7 微帶濾波器設計

由于這種系統的非線性，其輸出不是正弦的，基本無法得到其輸出波形的解析解，因此需要采用數值的方法計算每一種設計的輸出波形，從而得到各項系數

。

四、非線性時不變模型

雖然線性時變模型已經能很好地對設計更低相位噪聲的振蕩器進行指導了，但是實驗發現，其理論預測結果和實驗結果仍有一定的差距，這就需要使用進一步考慮系統的非線性了。這種模型的理論非常復雜，首先利用仿真軟件計算出無噪聲條件下系統的輸出波形，然后利用非線性和自相關函數來分析放大器的噪聲對相位噪聲的影響，這一點非常類似于隨機過程方程，雖然無法得到其解析解，但是可以得到在隨機過程的干擾下隨機變量的統計值。需要說明的是這種方法的預測結果和實驗吻合的非常好。下表就是關于理論預測和實驗的結果比較。需要注意的是，有的實驗結果被實驗儀器的測試本底限制，不能反映真實的相位噪聲。不過從眾多主流測試儀器的結果看，Holzworth的測量結果和理論預測吻合得還是很好的。

關于這三種噪聲模型的比較如下表所示。

展望

非線性時變模型已經可以很好的預測相位噪聲了，實驗中可以利用這種方法得到相位噪聲極低的晶振，仿佛剩下的事就是通過設計振蕩器的拓撲結構而已。

我覺得，晶振的發展可以參考低溫藍寶石振蕩器的優化方法。低溫藍寶石的穩定度最低可達3，除了因為低溫藍寶石超高的Q值（

）以外，另外一個原因就是因為其采用了PDH(Pound-Drever-Hall)方法，在這種方法里，藍寶石除了作為帶通濾波器外，還可以作為鑒相器，對振蕩器產生的微波信號進行鑒相產生誤差信號，利用這個誤差信號可以反饋到振蕩回路中，優化振蕩器的近DC處的相位噪聲。

[1] A. Abidi. (1997, Nov.). How phase noise appears in oscillators. [Online]. Available: http://www.rfdh.com/ez/system/db/pds_tn/ upload/271/phase_noise.pdf

[2] D. B. Leeson, “A simple model of feedback oscillator noise spec- trum,” Proc. IEEE, vol. 54, no. 2, pp. 329–332, 1966.

[3] M. Nick, “New Q-enhanced planar resonators for low phase- noise radio frequency oscillators,” Ph.D. dissertation, Dept. Elec- trical Eng., Michigan Univ., Ann Arbor, MI, 2011

總結

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