時域中我們有幾個性能指標，如上升時間，峰值時間，調節時間，超調量等等。進行時域分析和設計我們同樣需要知道頻域指標。

之前講的Bode plot，Nyquist plot，包括根軌跡，都是通過開環傳遞函數來分析閉環傳遞函數的穩定性和頻率特性，也就是通過開環系統分析閉環系統。在頻域中分析閉環系統性能時，我們依舊可以利用開環頻域指標來估計閉環頻域指標，而開環頻域指標也可以在一定程度上轉化為閉環時域指標。

本篇目錄

1. 閉環系統的頻域性能指標 - 帶寬

2. 帶寬與頻譜

3. 閉環系統的頻域性能指標 – 諧振頻率與諧振峰值

4. 從開環頻域到閉環頻域

5. 從開環頻域到時域

6. 本篇小節

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1. 閉環系統的頻域性能指標 - 帶寬

我們之前已經提過不少次bandwidth了。它是閉環系統的一個性能指標。定義截止頻率（cutoff frequency）是頻率特性的幅值從頻率為0處的分貝值第一次下降-3dB時的頻率。如果低頻處的幅值本來就是0dB，那一般就是指-3dB處的頻率。帶寬（bandwidth）則為0到截止頻率的頻率區間。

帶寬反映了閉環系統的響應速度，主要影響rise time上升時間。[2]中指出系統帶寬擴大n倍，則響應速度加速n倍。帶寬大的系統跟蹤信號的能力強，因為能在較寬的頻率帶中跟蹤原信號并保持較大的穩態幅值。反過來，因為帶寬很大，所以一些高頻干擾或者噪音就會被保留甚至放大。因此帶寬的選擇首先要滿足信號跟蹤和復現能力，再考慮降低噪音和干擾影響。

2. 帶寬與頻譜

為了讓系統能夠較好地跟蹤參考信號reference，系統的帶寬應當能覆蓋reference的大部分頻譜頻率。否則reference中超過帶寬頻率的高頻部分就會因為大的衰減而導致丟失，這種情況叫信號的失真。 覆蓋得越完整當然信號復現的能力就越強。

3. 閉環系統的頻域性能指標 – 諧振頻率與諧振峰值

諧振峰值

與閉環系統的阻尼比是負相關的，即阻尼比越小，峰值越大。因此峰值的大小是對系統damping的一種指標。諧振頻率 是閉環系統瞬態過程響應速度的指標，當阻尼比較小時，諧振頻率與有阻尼共振頻率，以及自然頻率都是近似相等的，所以對應的時域的上升時間rise time就與諧振頻率負相關。

4. 從開環頻域到閉環頻域

如果我們知道了開環傳遞函數，按照我們需要的bandwidth，我只要設計之前講過的Lead Compensator，Lag Compensator ，或者PID controller就可以完成閉環頻域設計了，而且我們可以通過MATLAB來實現。 但是即便如此，通過trial and error的辦法并不是非常高效的。于是我們使用之前開環傳遞函數的Bode plot的兩個指標對閉環頻域的指標進行設計，這樣開環傳遞函數的Bode plot就可以告訴我們足夠的信息來指導我們如何進行下一步設計。

系統的穿越頻率（crossover frequency）是Bode plot中穿越0dB線時的對應頻率，是一個開環傳遞函數的指標。我們發現其與閉環系統的帶寬bandwidth是有關聯的。一般地穿越頻率越大，帶寬越大。[1]中計算發現帶寬頻率位于

到 。于是穿越頻率crossover frequency可以和帶寬一樣對閉環系統的響應速度產生衡量的作用。

系統的相位裕度（PM）是Bode plot中 穿越頻率時Phase與-180的差值，我們之前就講過二階系統的PM與阻尼比有近似正比關系（當PM不超過60），隨后亦有一一對應的關系。這個關系是從二階系統的標準形式的頻率特性中推導而得到。同樣的諧振峰值和諧振頻率，即二階系統的頻率特性的最大值和最大值處的頻率，與PM和crossover frequency都有聯系。

二階系統中PM與阻尼比之間的關系

二階系統的PM與超調量Mp和諧振峰值Mr的關系

PM與超調量和諧振峰值有對應關系，這與PM和阻尼之間的關系也是對應的。我們可以粗略地得出系統的PM值越大則阻尼比越大，超調和諧振峰值越小。諧振頻率一般和穿越頻率靠的比較近，因此也可以拿crossover frequency來近似諧振頻率

。

5. 從開環頻域到時域

時域中我們最常用的幾個指標都與自然頻率

和阻尼比 有關系。我們已經知道從PM可以估計阻尼比。自然頻率 則是可以由穿越頻率 估計。一般穿越頻率會更大一些。

6. 本篇小節

[3]中的這張圖總結的非常好，借花獻佛。

右邊那列的指標是我們可以直接通過控制器進行設計的。我們通過控制器設計調整開環系統的指標，根據它們與左邊從而能夠滿足閉環系統的性能指標，這就是我們的基本思路。

Reference

[1] G.F. Franklin, J.D. Powell, A.Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, 7th Edition, 2014, Pearson

[2] 胡壽松，自動控制原理（第六版），2013，科學出版社

[3] 朱曉青 主編，數字控制系統分析與設計，2015，清華大學出版社

總結

以上是生活随笔為你收集整理的二阶系统响应指标图_15. 闭环系统的频域性能指标的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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