數(shù)學(xué)理論—— 蒙特卡洛近似

• 1. 圓周率估算
• • 1.1 理論
  • 1.2 代碼實(shí)現(xiàn)
• 2. 近似積分
• • 2.1 一元積分（univariate）
  • 2.2 多元積分（multivariate）
• 3 期望估計(jì)（Estimate of Expection）

1. 圓周率估算

1.1 理論

• 邊長(zhǎng)為2的正方形的橫坐標(biāo)范圍為[-1,1]，縱坐標(biāo)為[-1,1]。
• 數(shù)據(jù)點(diǎn)（x，y）的橫坐標(biāo)從[-1,1]中均勻抽樣得到，縱坐標(biāo)從[-1,1]中均勻抽樣得到，則數(shù)據(jù)點(diǎn)落在圓內(nèi)的概率為：$$p=\frac{A_2}{A_1}=\frac{\pi }{4}$$
• 計(jì)算誤差為：$$o(\frac{1}{\sqrt{n}})$$
  
  則計(jì)算圓周率的流程為：

設(shè)定一個(gè)大數(shù)n，計(jì)數(shù)器m。

for i = 1 to n：$$\begin{gathered} x\leftarrow [?1,1] \\ y\leftarrow [?1,1] \\ m\leftarrow m+1(當(dāng)x^2+y^2\le 1時(shí)) \end{gathered}$$

$$\pi \leftarrow \frac{4m}{n}$$

1.2 代碼實(shí)現(xiàn)

import random n = 10000000 m = 0 for i in range(n):x = random.uniform(-1,1)y = random.uniform(-1,1)if x**2 + y**2 <= 1:m += 1 print(4*m/n) 3.1415656

2. 近似積分

2.1 一元積分（univariate）

• 計(jì)算如下積分:$$I={\int }_a^{b}f(x)d_x$$

從[a,b]中進(jìn)行n次抽樣，得到:$$x_1,x_2,...,x_n$$

計(jì)算：$$Q_n=(b?a)?\frac{1}{n}?\sum _{i=1}^{n}f(x_i)$$

可用Qn去近似積分I，因?yàn)榇髷?shù)定律可以保證其誤差反比于：$$\sqrt{n}$$
代碼為：

import random def f(x):return x**2 a = -1 b = 1 n = 100000000 sum_num = 0 for i in range(n):x = random.uniform(a,b)sum_num += f(x) Q = (b-a)* sum_num / n print(Q)

結(jié)果為：

0.6666073503023225

2.2 多元積分（multivariate）

求取積分：$$I={\int }_{\Omega }f(X)d_X$$

從$$\Omega$$中進(jìn)行n次抽樣，得到:$$X_1,X_2,...,X_n$$

計(jì)算：$$V={\int }_{\Omega }{d}_X$$

計(jì)算：$$Q_n=V?\frac{1}{n}?\sum _{i=1}^{n}f(X_i)$$

可用Qn去近似積分I，因?yàn)榇髷?shù)定律可以保證其誤差反比于：$$\sqrt{n}$$
求取下式積分：$$\begin{gathered} f(x,y)=\{\begin{array}{rl}1& ,x^2+y^2\le 1\\ 0& ,otherwise\end{array} \\ \Omega =[?1,1]?[?1,1] \\ I={\int }_{\Omega }f(x,y)d_x{d}_y \end{gathered}$$
代碼為：

def f(x,y):if x**2 + y**2 <= 1:return 1return 0 a1 = -1 a2 = -1 b1 = 1 b2 = 1 n = 10000000 sum_num = 0 for i in range(n):x = random.uniform(a1,b1)y = random.uniform(a2,b2)sum_num += f(x,y) V = 2*2 Q = V*sum_num / n print(Q) 3.1415416

3 期望估計(jì)（Estimate of Expection）

• X為d維隨機(jī)變量
• P（X）為X的概率密度函數(shù)：$$P(X)\leftarrow probabilitydensityfunction$$
• $${\int }_{R}P(X)d_X=1$$
  計(jì)算f(X)的期望：

依據(jù)P(X)進(jìn)行隨機(jī)抽樣，得到：$$X_1,X_2,...,X_n$$

計(jì)算：$$Q_n=\frac{1}{n}?\sum _{i=1}^{n}f(X_i)$$

$$Q_n\approx E_{X～P}[f(X)]$$

代碼為：

n = 10000000 sum_num = 0 for i in range(n):x = random.normalvariate(2,1)sum_num += x print(sum_num/n) 2.000336379227587

本文部分內(nèi)容為參考此視頻。

by CyrusMay 2022 04 04

生命是華麗錯(cuò)覺
時(shí)間是賊偷走一切
————五月天（如煙）————

總結(jié)

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