近世代數--整環上的唯一分解問題--唯一分解整環有算術分解定理

• 引出唯一分解整環
• 構造唯一分解整環UFD
• 整環是唯一分解整環的充分必要條件
• • 整環是唯一分解整環$\to$每個不可約元都是素元
  • 整環是唯一分解整環$\to$每一個真因子鏈都是有限的
  • 每個不可約元都是素元，每一個真因子鏈都是有限的$\to$整環是唯一分解整環

博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。

• $D$是整環
• $F$是整環的商域
• $U$是整環的單位群，單位群是所有單位（可逆元）關于乘法構成的群

引出唯一分解整環

我們知道，在整數環$Z$中，有算術分解定理：不考慮因子次序，任何大于1的正整數都可唯一分解為素數的乘積，

整數環有唯一分解的性質，那么能否推廣到整環上呢？如果不是，在什么限制條件下，可以推廣到整環上呢？

唯一分解整環：unique factorization domain,UFD

幾個概念。

• 因子divisor：$D$是整環，$a,b\in D,$若$?c\in D,$使得$a=bc,$則$b$是$a$的因子。最大公因子：$d=gcd(a,b)$
• 真因子proper divisor：顯然，單位$u\in U,\in D,u,au$是$a$的因子($a=u(u^{?1}a),a=(au)u^{?1}$)，稱$u,au$是$a$的平凡因子。$a$的非平凡因子，稱為$a$的真因子。
• 不可約元irreducible element：整環$D$中，非零元，非單位，無真因子的元素稱為$D$的不可約元。
• 素元prime element：$p\in D,p$非零元，非單位$,?a,b\in D,p\mid ab\to p\mid a$或$p\mid b$，則$p$為$D$的素元。
• 相伴

構造唯一分解整環UFD

$D$為整環，$a\in D,a=0,a\in /U,$

• 元素有唯一分解：

  • $a$可分解為有限多個不可約元的乘積：$a=p_1{p}_2\dots p_s$

  • 上述分解在相伴的意義下是唯一的，即如果$a$有兩種不可約分解，

    $a=p_1{p}_2\dots p_s=q_1{q}_2\dots q_t$，則
    $s=t,$交換因子次序會有$p_i～q_i,i=1,2,\dots s$

  則稱$a$有唯一分解。

唯一分解整環：如果$D$中所有非零非單位元的元素都有唯一分解，則稱$D$為唯一分解整環，記作UFD。

整環是唯一分解整環的充分必要條件

整環是唯一分解整環$$\begin{gathered} ? \\ 1. \end{gathered}$$每個不可約元都是素元$2.$每一個真因子鏈都是有限的

整環是唯一分解整環$\to$每個不可約元都是素元

• 在整環中，每個素元都是不可約元

  證明：$p=ab\to p～a,b\in U$或$p～b,a\in U$
  設$p\in D,p$為素元，

  • 如果$$\begin{gathered} p=ab \\ \to p\mid ab \\ \to p\mid a \end{gathered}$$或$p\mid b$
    • 假設$p\mid a\to ?c\in D,a=pc,$又$p=ab\to p=pcb\to bc=1\to b\in U,p～a$
    • 假設$p\mid b\to ?c\in D,b=cp,$又$p=ab\to p=acp\to ac=1\to a\in U,p～b$

• 那么，在整環中，所有不可約元都是素元嗎？如果不是，在什么限制條件下，使得整環中的所有不可約元都是素元呢？

  唯一分解整環中，所有不可約元都是素元

  證明：要證$p\mid ab\to p\mid a$或$p\mid b$

  唯一分解整環$D,p\in D$為$D$的不可約元，設$$\begin{gathered} p\mid ab, \\ ?c\in D, \end{gathered}$$使$pc=ab$

  • $a,b,c$有一個為可逆元/單位，則
    • $a$為單位$\to pc{a}^{?1}=b\to p\mid b$
    • $b$為單位$\to pc{b}^{?1}=a\to p\mid a$
    • $c$為單位$\to p=ab{c}^{?1}\to p～ab$，又$p$是不可約元，$\to p～a$或$p～b\to p\mid a$或$p\mid b$
  • $a,b,c$都不是可逆元/單位，因為乘以可逆元不會改變相伴關系$a～b?a=bu$，所以分解式通常不考慮單位，$a,b,c$有分解式：$$\begin{gathered} a=q_1{q}_2\dots \dots q_s \\ b=q_{s+1}{q}_{s+2}\dots \dots q_{s+t} \\ c=p_1{p}_2\dots \dots p_r, \\ {p}_i,q_j \end{gathered}$$都是不可約元，則$p{p}_1{p}_2\dots \dots p_r=q_1{q}_2\dots \dots q_{s+t}\to p～q_i(1\le i\le s+t)$
    • $1\le i\le s\to p\mid a$
    • $s+1\le i\le s+t\to p\mid b$

整環是唯一分解整環$\to$每一個真因子鏈都是有限的

• 真因子鏈chain of proper divisors：$D$是整環，$D$中一列元素$a_1{a}_2\dots \dots a_n\dots \dots$（有限或無限），如果$?i>1,a_i$為$a_{i?1}$的真因子，則稱元素列為$D$的真因子鏈。

• 證明真因子鏈有限：$a\in D,l(a)$為$a$的長度，定義如下：

  • $a\in U\to l(a)=0$
  • $a\in /U,\to a=p_1{p}_2\dots \dots p_s\to l(a)=s$

  如果$b$是$a$的真因子，那么$l(b)<l(a)$，

  即真因子鏈$a_1{a}_2\dots \dots a_n\dots \dots$，有$l(a_1)>l(a_2)>\dots \dots >l(a_n)>\dots \dots$

  因為$l(a_1)$是有限數，每個$l(a_i)$都是正整數，所以$l(a_1)>l(a_2)>\dots \dots >l(a_n)>\dots \dots$不可能是無限的

每個不可約元都是素元，每一個真因子鏈都是有限的$\to$整環是唯一分解整環

• 證明分解的存在性（每一個真因子鏈都是有限的）

  反證法：假設$D$不是唯一分解整環，即$?a\in D,a$非零非單位，$a$沒有分解$\to a$是可約元

  注：因為如果$a$是不可約元，則$a$沒有真因子，不能寫成有限多個不可約元的乘積，直接是$a=p$，$p$是不可約元，而$a=p$本身已經是一種分解。

  $a$是可約元$\to a=a_1{b}_1,a_1,b_1$是$a$的真因子$\to a_1,b_1$至少有一個沒有分解，否則$a=a_1{b}_1$就是$a$的分解$\to$假設$a_1$沒有分解，$$\begin{gathered} a_1=a_2{b}_2 \\ \to \dots \dots \\ \to \end{gathered}$$以此類推，$a$不可分解$\to a$的真因子$a_1$不可分解,$\to a_1$的真因子$a_2$不可分解$\to$有一個無限的真因子鏈$a,a_1,a_2,\dots a_n\dots$，產生矛盾

• 證明分解的唯一性（每個不可約元都是素元）

  $a\in D,a$非零非單位，$a$有兩個分解式，
  $a=p_1{p}_2\dots p_s=q_1{q}_2\dots q_t,(p_i,q_j$是$D$的不可約元)

  對$s$用數學歸納法：

  • (1)$s=1,a=p_1$不可約，$\to t=1,p_1=q_1$

  • (2)假設結論對$s?1$成立，

  • (3)考慮$s$

    已知$$\begin{gathered} p_1\mid a, \\ \to p_1\mid q_1{q}_2\dots q_t \end{gathered}$$

    因為$p_1$是不可約元$\to p_1$是素元，又$$\begin{gathered} p_1\mid q_1{q}_2\dots q_t \\ \to p_1\mid q_i,1\le i\le t \end{gathered}$$

    調整順序，使$p_1\mid q_1,$則$?c\in D,$使得$q_1=c{p}_1$；又$q_1$不可約，$\to c$為單位，$p_1～q_1$

    $$\begin{gathered} p_1{p}_2\dots p_s=q_1{q}_2\dots q_t \\ \to p_1{p}_2\dots p_s=(c{p}_1)q_2\dots q_t \\ \to p_1{p}_2\dots p_s=p_1(c{q}_2)\dots q_t,D \end{gathered}$$是整環，用消去律，$\to p_2\dots p_s=(c{q}_2)\dots q_t$

    因為結論在$s?1$時成立，$\to s?1=t?1\to s=t\to p_i～q_i,i=2,3,\dots s$,
    又$p_1～q_1$，所以$p_1{p}_2\dots p_s=q_1{q}_2\dots q_t$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--整环上的唯一分解问题--唯一分解整环上有算术分解定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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