近世代数--整环上的唯一分解问题--唯一分解整环上有算术分解定理
近世代數--整環上的唯一分解問題--唯一分解整環有算術分解定理
- 引出唯一分解整環
- 構造唯一分解整環UFD
- 整環是唯一分解整環的充分必要條件
- 整環是唯一分解整環→\rightarrow→每個不可約元都是素元
- 整環是唯一分解整環→\rightarrow→每一個真因子鏈都是有限的
- 每個不可約元都是素元,每一個真因子鏈都是有限的→\rightarrow→整環是唯一分解整環
博主是初學近世代數(群環域),本意是想整理一些較難理解的定理、算法,加深記憶也方便日后查找;如果有錯,歡迎指正。
我整理成一個系列:近世代數,方便檢索。
- DDD是整環
- FFF是整環的商域
- UUU是整環的單位群,單位群是所有單位(可逆元)關于乘法構成的群
引出唯一分解整環
我們知道,在整數環ZZZ中,有算術分解定理:不考慮因子次序,任何大于1的正整數都可唯一分解為素數的乘積,
整數環有唯一分解的性質,那么能否推廣到整環上呢?如果不是,在什么限制條件下,可以推廣到整環上呢?
唯一分解整環:unique factorization domain,UFD
幾個概念。
- 因子divisor:DDD是整環,a,b∈D,a,b\in D,a,b∈D,若?c∈D,\exists c\in D,?c∈D,使得a=bc,a=bc,a=bc,則bbb是aaa的因子。最大公因子:d=gcd(a,b)d=gcd(a,b)d=gcd(a,b)
- 真因子proper divisor:顯然,單位u∈U,∈D,u,auu\in U,\in D,u,auu∈U,∈D,u,au是aaa的因子(a=u(u?1a),a=(au)u?1a=u(u^{-1}a),a=(au)u^{-1}a=u(u?1a),a=(au)u?1),稱u,auu,auu,au是aaa的平凡因子。aaa的非平凡因子,稱為aaa的真因子。
- 不可約元irreducible element:整環DDD中,非零元,非單位,無真因子的元素稱為DDD的不可約元。
- 素元prime element:p∈D,pp\in D,pp∈D,p非零元,非單位,?a,b∈D,p∣ab→p∣a,\forall a,b\in D,p\mid ab\rightarrow p\mid a,?a,b∈D,p∣ab→p∣a或p∣bp\mid bp∣b,則ppp為DDD的素元。
- 相伴
構造唯一分解整環UFD
DDD為整環,a∈D,a≠0,a?U,a\in D,a\neq 0,a\notin U,a∈D,a?=0,a∈/?U,
-
元素有唯一分解:
-
aaa可分解為有限多個不可約元的乘積:a=p1p2…psa=p_1p_2…p_sa=p1?p2?…ps?
-
上述分解在相伴的意義下是唯一的,即如果aaa有兩種不可約分解,
a=p1p2…ps=q1q2…qta=p_1p_2…p_s=q_1q_2…q_ta=p1?p2?…ps?=q1?q2?…qt?,則
s=t,s=t,s=t,交換因子次序會有pi~qi,i=1,2,…sp_i\sim q_i,i=1,2,…spi?~qi?,i=1,2,…s
則稱aaa有唯一分解。
-
唯一分解整環:如果DDD中所有非零非單位元的元素都有唯一分解,則稱DDD為唯一分解整環,記作UFD。
整環是唯一分解整環的充分必要條件
整環是唯一分解整環?1.\leftrightarrow\\1.?1.每個不可約元都是素元2.\\2.2.每一個真因子鏈都是有限的
整環是唯一分解整環→\rightarrow→每個不可約元都是素元
-
在整環中,每個素元都是不可約元
證明:p=ab→p~a,b∈Up=ab\rightarrow p\sim a,b\in Up=ab→p~a,b∈U或p~b,a∈Up\sim b,a\in Up~b,a∈U
設p∈D,pp\in D,pp∈D,p為素元,- 如果p=ab→p∣ab→p∣ap=ab\\\rightarrow p\mid ab\\\rightarrow p\mid ap=ab→p∣ab→p∣a或p∣bp\mid bp∣b
- 假設p∣a→?c∈D,a=pc,p\mid a\rightarrow \exists c\in D,a=pc,p∣a→?c∈D,a=pc,又p=ab→p=pcb→bc=1→b∈U,p~ap=ab\rightarrow p=pcb \rightarrow bc=1\rightarrow b\in U,p\sim ap=ab→p=pcb→bc=1→b∈U,p~a
- 假設p∣b→?c∈D,b=cp,p\mid b\rightarrow \exists c\in D,b=cp,p∣b→?c∈D,b=cp,又p=ab→p=acp→ac=1→a∈U,p~bp=ab\rightarrow p=acp \rightarrow ac=1\rightarrow a\in U,p\sim bp=ab→p=acp→ac=1→a∈U,p~b
- 如果p=ab→p∣ab→p∣ap=ab\\\rightarrow p\mid ab\\\rightarrow p\mid ap=ab→p∣ab→p∣a或p∣bp\mid bp∣b
-
那么,在整環中,所有不可約元都是素元嗎?如果不是,在什么限制條件下,使得整環中的所有不可約元都是素元呢?
唯一分解整環中,所有不可約元都是素元
證明:要證p∣ab→p∣ap\mid ab\rightarrow p\mid ap∣ab→p∣a或p∣bp\mid bp∣b
唯一分解整環D,p∈DD,p\in DD,p∈D為DDD的不可約元,設p∣ab,?c∈D,p\mid ab,\\\exists c\in D,p∣ab,?c∈D,使pc=abpc=abpc=ab
- a,b,ca,b,ca,b,c有一個為可逆元/單位,則
- aaa為單位→pca?1=b→p∣b\rightarrow pca^{-1}=b\rightarrow p\mid b→pca?1=b→p∣b
- bbb為單位→pcb?1=a→p∣a\rightarrow pcb^{-1}=a\rightarrow p\mid a→pcb?1=a→p∣a
- ccc為單位→p=abc?1→p~ab\rightarrow p=abc^{-1}\rightarrow p\sim ab→p=abc?1→p~ab,又ppp是不可約元,→p~a\rightarrow p\sim a→p~a或p~b→p∣ap\sim b\rightarrow p\mid ap~b→p∣a或p∣bp\mid bp∣b
- a,b,ca,b,ca,b,c都不是可逆元/單位,因為乘以可逆元不會改變相伴關系a~b?a=bua\sim b\leftrightarrow a=bua~b?a=bu,所以分解式通常不考慮單位,a,b,ca,b,ca,b,c有分解式:a=q1q2……qsb=qs+1qs+2……qs+tc=p1p2……pr,pi,qj\\a=q_1q_2……q_s\\b=q_{s+1}q_{s+2}……q_{s+t}\\c=p_1p_2……p_r,\\p_i,q_ja=q1?q2?……qs?b=qs+1?qs+2?……qs+t?c=p1?p2?……pr?,pi?,qj?都是不可約元,則pp1p2……pr=q1q2……qs+t→p~qi(1≤i≤s+t)\\pp_1p_2……p_r=q_1q_2……q_{s+t}\rightarrow p\sim q_i(1\le i\le s+t)pp1?p2?……pr?=q1?q2?……qs+t?→p~qi?(1≤i≤s+t)
- 1≤i≤s→p∣a1\le i\le s\rightarrow p\mid a1≤i≤s→p∣a
- s+1≤i≤s+t→p∣bs+1\le i\le s+t\rightarrow p\mid bs+1≤i≤s+t→p∣b
- a,b,ca,b,ca,b,c有一個為可逆元/單位,則
整環是唯一分解整環→\rightarrow→每一個真因子鏈都是有限的
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真因子鏈chain of proper divisors:DDD是整環,DDD中一列元素a1a2……an……a_1a_2……a_n……a1?a2?……an?……(有限或無限),如果?i>1,ai\forall i>1,a_i?i>1,ai?為ai?1a_{i-1}ai?1?的真因子,則稱元素列為DDD的真因子鏈。
-
證明真因子鏈有限:a∈D,l(a)a\in D,l(a)a∈D,l(a)為aaa的長度,定義如下:
- a∈U→l(a)=0a\in U\rightarrow l(a)=0a∈U→l(a)=0
- a?U,→a=p1p2……ps→l(a)=sa\notin U,\rightarrow a=p_1p_2……p_s\rightarrow l(a)=sa∈/?U,→a=p1?p2?……ps?→l(a)=s
如果bbb是aaa的真因子,那么l(b)<l(a)l(b)<l(a)l(b)<l(a),
即真因子鏈a1a2……an……a_1a_2……a_n……a1?a2?……an?……,有l(a1)>l(a2)>……>l(an)>……l(a_1)>l(a_2)>……>l(a_n)>……l(a1?)>l(a2?)>……>l(an?)>……
因為l(a1)l(a_1)l(a1?)是有限數,每個l(ai)l(a_i)l(ai?)都是正整數,所以l(a1)>l(a2)>……>l(an)>……l(a_1)>l(a_2)>……>l(a_n)>……l(a1?)>l(a2?)>……>l(an?)>……不可能是無限的
每個不可約元都是素元,每一個真因子鏈都是有限的→\rightarrow→整環是唯一分解整環
-
證明分解的存在性(每一個真因子鏈都是有限的)
反證法:假設DDD不是唯一分解整環,即?a∈D,a\exists a\in D,a?a∈D,a非零非單位,aaa沒有分解→a\rightarrow a→a是可約元
注:因為如果aaa是不可約元,則aaa沒有真因子,不能寫成有限多個不可約元的乘積,直接是a=pa=pa=p,ppp是不可約元,而a=pa=pa=p本身已經是一種分解。
aaa是可約元→a=a1b1,a1,b1\\\rightarrow a=a_1b_1,a_1,b_1→a=a1?b1?,a1?,b1?是aaa的真因子→a1,b1\\\rightarrow a_1,b_1→a1?,b1?至少有一個沒有分解,否則a=a1b1a=a_1b_1a=a1?b1?就是aaa的分解→\\\rightarrow→假設a1a_1a1?沒有分解,a1=a2b2→……→a_1=a_2b_2\\\rightarrow ……\\\rightarrowa1?=a2?b2?→……→以此類推,aaa不可分解→a\rightarrow a→a的真因子a1a_1a1?不可分解,→a1\rightarrow a_1→a1?的真因子a2a_2a2?不可分解→\\\rightarrow→有一個無限的真因子鏈a,a1,a2,…an…a,a_1,a_2,…a_n…a,a1?,a2?,…an?…,產生矛盾
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證明分解的唯一性(每個不可約元都是素元)
a∈D,aa\in D,aa∈D,a非零非單位,aaa有兩個分解式,
a=p1p2…ps=q1q2…qt,(pi,qja=p_1p_2…p_s=q_1q_2…q_t,(p_i,q_ja=p1?p2?…ps?=q1?q2?…qt?,(pi?,qj?是DDD的不可約元)對sss用數學歸納法:
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(1)s=1,a=p1s=1,a=p_1s=1,a=p1?不可約,→t=1,p1=q1\rightarrow t=1,p_1=q_1→t=1,p1?=q1?
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(2)假設結論對s?1s-1s?1成立,
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(3)考慮sss
已知p1∣a,→p1∣q1q2…qtp_1\mid a,\\\rightarrow p_1\mid q_1q_2…q_tp1?∣a,→p1?∣q1?q2?…qt?
因為p1p_1p1?是不可約元→p1\\\rightarrow p_1→p1?是素元,又p1∣q1q2…qt→p1∣qi,1≤i≤tp_1\mid q_1q_2…q_t\\\rightarrow p_1\mid q_i,1\le i\le tp1?∣q1?q2?…qt?→p1?∣qi?,1≤i≤t
調整順序,使p1∣q1,p_1\mid q_1,p1?∣q1?,則?c∈D,\exists c\in D,?c∈D,使得q1=cp1q_1=cp_1q1?=cp1?;又q1q_1q1?不可約,→c\rightarrow c→c為單位,p1~q1p_1\sim q_1p1?~q1?
p1p2…ps=q1q2…qt→p1p2…ps=(cp1)q2…qt→p1p2…ps=p1(cq2)…qt,Dp_1p_2…p_s=q_1q_2…q_t\\\rightarrow p_1p_2…p_s=(cp_1)q_2…q_t\\\rightarrow p_1p_2…p_s=p_1(cq_2)…q_t,Dp1?p2?…ps?=q1?q2?…qt?→p1?p2?…ps?=(cp1?)q2?…qt?→p1?p2?…ps?=p1?(cq2?)…qt?,D是整環,用消去律,→p2…ps=(cq2)…qt\\\rightarrow p_2…p_s=(cq_2)…q_t→p2?…ps?=(cq2?)…qt?
因為結論在s?1s-1s?1時成立,→s?1=t?1→s=t→pi~qi,i=2,3,…s\rightarrow s-1=t-1\rightarrow s=t\rightarrow p_i\sim q_i,i=2,3,…s→s?1=t?1→s=t→pi?~qi?,i=2,3,…s,
又p1~q1p_1\sim q_1p1?~q1?,所以p1p2…ps=q1q2…qtp_1p_2…p_s=q_1q_2…q_tp1?p2?…ps?=q1?q2?…qt?
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--整环上的唯一分解问题--唯一分解整环上有算术分解定理的全部內容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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