初等數(shù)論--同余方程--同余方程組：中國(guó)剩余定理

博主是初學(xué)初等數(shù)論（整除+同余+原根），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯(cuò)，歡迎指正。
我整理成一個(gè)系列：初等數(shù)論，方便檢索。

中國(guó)剩余定理：
若正整數(shù)$m_1,m_2,\dots \dots m_k$兩兩互素，那么對(duì)于任意$k$個(gè)整數(shù)$a_1,a_2\dots \dots a_k$，則對(duì)于同余方程組
$$?\begin{array}{r}x\equiv a_1(mod{m}_1)\\ x\equiv a_2(mod{m}_2)\\ x\equiv a_3(mod{m}_3)\\ \dots \dots \dots \dots \dots \\ x\equiv a_k(mod{m}_k)\end{array}$$
我們可以得到以下結(jié)論：

• 該同余方程組有解
• 模${\prod }_{i=1}^k{m}_i$的解個(gè)數(shù)為1
• 該解為$x\equiv M_1{M}_1^{?1}{a}_1+M_2{M}_2^{?1}{a}_2+\dots \dots +M_k{M}_k^{?1}{a}_k(modm),$其中$M_i=\frac{m}{m_i},M_i{M}_i^{?1}\equiv 1(mod{m}_i),m={\prod }_{i=1}^k{m}_i,1\le ?i\le k$

證明：

• 該解形式存在

因?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">$M_i=\frac{m}{m_i}$,正整數(shù)$m_1,m_2,\dots \dots m_k$兩兩互素，所以$(M_i,m_i)=1,\to M_i{M}_i^{?1}\equiv 1(mod{m}_i)$中$M_i^{?1}$存在。

• 該解確實(shí)是方程組的解

因?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">$M_i{M}_i^{?1}\equiv 1(modm),m_i\mid M_j(i=j)$，所以$x$滿足方程組，是方程組的解。

• 模${\prod }_{i=1}^k{m}_i$的解個(gè)數(shù)為1

反證法：假設(shè)存在$x_1,x_2$同時(shí)滿足，則
$x_1\equiv x_2\equiv a_i(mod{m}_i)$
即$m_i\mid x_1?x_2\to x_1?x_2$是$[m_1,m_2,\dots \dots ,m_k]$的倍數(shù)，而$m=[m_1,m_2,\dots \dots ,m_k]$，即$m\mid x_1?x_2\to x_1\equiv x_2(modm)$

總結(jié)

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