初等數(shù)論--整除--帶余除法

• 概念
• 基本性質(zhì)
• 帶余除法

博主本人是初學(xué)初等數(shù)論（整除+同余+原根），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯(cuò)，歡迎指正。
我整理成一個(gè)系列：初等數(shù)論，方便檢索。

概念

$初等數(shù)論研究對(duì)象是整數(shù)集合和自然數(shù)集合。$

$b|a:若a,b\in \mathbb{Z},b=0，?c\in \mathbb{Z},使a=bc,則稱(chēng)b整除a。$

基本性質(zhì)

1.$b|a?(?b)|a?b|(?a)?(?b)|(?a)?|b|||a|$
2.$a=0且b|a\to |b|\le |a|$
3.$a|b且b|c\to a|c$
4.$a|b且b|a\to |a|=|b|,b=\pm a$
5.$a|b且a|c\to a|bt+cs,?t,s\in \mathbb{Z}$
6.$設(shè)m=0,b|a\to mb|ma$

帶余除法

$設(shè)a,b是兩個(gè)給定的整數(shù)，b>0，則必定存在唯一的一對(duì)整數(shù)q、r，滿(mǎn)足a=qb+r,0\le r<b證明：存在性+唯一性$

• $存在性$
  $$\begin{gathered} 我們已知整數(shù)序列\dots ?3b,?2b,?b,0,b,2b,3b\dots ，a必定滿(mǎn)足qb\le a\le (q+1)b，我們令r=a?qb，則 \\ qb?qb\le a?qb<(q+1)b?qb,即0\le r<b \end{gathered}$$
• $唯一性$
  $$\begin{gathered} 反證法：假設(shè)還存在一對(duì)整數(shù)q‘、r’，滿(mǎn)足a=q^{\prime }b+r^{\prime },0\le r^{\prime }<b,則有 \\ a=qb+r,a=q^{\prime }b+r^{\prime },聯(lián)立二式得到 \\ (q?q^{\prime })b=r^{\prime }?r, \\ 因為0\le r^{\prime },r<b,所以0\le |r^{\prime }?r|<b, \\ 因此|q?q^{\prime }|<1。 \\ 又因為q和q^{\prime }都是整數(shù)，所以q=q^{\prime }，所以r=r^{\prime } \end{gathered}$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的初等数论--整除--带余除法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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