在實(shí)際的控制系統(tǒng)中能夠得到的是連續(xù)信號(hào)x(t)的離散采樣值x(nT)。因此需要利用離散信號(hào)x(nT)來(lái)計(jì)算信號(hào)x(t)的頻譜。

　　有限長(zhǎng)離散信號(hào)x(n)，n=0，1，…，N-1的DFT定義為：

DFT

可以看出，DFT需要計(jì)算大約N2次乘法和N2次加法。當(dāng)N較大時(shí)，這個(gè)計(jì)算量是很大的。

利用WN的對(duì)稱性和周期性，將N點(diǎn)DFT分解為兩個(gè)N／2點(diǎn)的 DFT，這樣兩個(gè)N／2點(diǎn)DFT總的計(jì)算量只是原來(lái)的一半，即(N／2)2+(N／2)2=N2／2，這樣可以繼續(xù)分解下去，將N／2再分解為N／4點(diǎn) DFT等。對(duì)于N=2m 點(diǎn)的DFT都可以分解為2點(diǎn)的DFT，這樣其計(jì)算量可以減少為(N／2)log2N次乘法和Nlog2N次加法。

具體方法：

將x(n)分解為偶數(shù)與奇數(shù)的兩個(gè)序列之和，即

x1(n)和x2(n)的長(zhǎng)度都是N／2，x1(n)是偶數(shù)序列，x2(n)是奇數(shù)序列，則

　　其中X1(k)和X2(k)分別為x1(n)和x2(n)的N／2點(diǎn)DFT。由于X1(k)和X2(k)均以N／2為周期，且WN k+N/2=-WN k，所以X(k)又可表示為：

　　上式的運(yùn)算可以用圖2表示，根據(jù)其形狀稱之為蝶形運(yùn)算。依此類推，經(jīng)過(guò)m-1次分解，最后將N點(diǎn)DFT分解為N／2個(gè)兩點(diǎn)DFT。圖3為8點(diǎn)FFT的分解流程。

　　FFT算法的原理是通過(guò)許多小的更加容易進(jìn)行的變換去實(shí)現(xiàn)大規(guī)模的變換，降低了運(yùn)算要求，提高了與運(yùn)算速度。FFT不是DFT的近似運(yùn)算，它們完全是等效的。

關(guān)于FFT精度的說(shuō)明：

因?yàn)檫@個(gè)變換采用了浮點(diǎn)運(yùn)算，因此需要足夠的精度，以使在出現(xiàn)舍入誤差時(shí)，結(jié)果中的每個(gè)組成部分的準(zhǔn)確整數(shù)值仍是可辨認(rèn)的。為了FFT的舍入誤差，應(yīng)該允許增加幾倍log2(log2N)位的二進(jìn)制。以256為基數(shù)、長(zhǎng)度為N字節(jié)的數(shù)可以產(chǎn)生大到(256)2N階的卷積分量，所以為了正確存儲(chǔ)，需要16+log2N位精度，若數(shù)i是浮點(diǎn)尾數(shù)的二進(jìn)制位數(shù)，則有條件：

如果i=24，對(duì)于任意感興趣(N>256)的N值，單精度是不合適的；如果i=53，也就是采用雙精度，則允許N大于106，相當(dāng)于幾百萬(wàn)十進(jìn)制位。所以，用FFT作大數(shù)乘法時(shí)，向量數(shù)組選用雙精度類型

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總結(jié)

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