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暑假，小哼準(zhǔn)備去一些城市旅游。有些城市之間有公路，有些城市之間則沒有，如下圖。為了節(jié)省經(jīng)費(fèi)以及方便計(jì)劃旅程，小哼希望在出發(fā)之前知道任意兩個(gè)城市之前的最短路程。

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? ?? ???上圖中有4個(gè)城市8條公路，公路上的數(shù)字表示這條公路的長(zhǎng)短。請(qǐng)注意這些公路是單向的。我們現(xiàn)在需要求任意兩個(gè)城市之間的最短路程，也就是求任意兩個(gè)點(diǎn)之間的最短路徑。這個(gè)問題這也被稱為“多源最短路徑”問題。

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? ? ? ? 現(xiàn)在需要一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來存儲(chǔ)圖的信息，我們?nèi)匀豢梢杂靡粋€(gè)4*4的矩陣（二維數(shù)組e）來存儲(chǔ)。比如1號(hào)城市到2號(hào)城市的路程為2，則設(shè)e[1][2]的值為2。2號(hào)城市無法到達(dá)4號(hào)城市，則設(shè)置e[2][4]的值為∞。另外此處約定一個(gè)城市自己是到自己的也是0，例如e[1][1]為0，具體如下。

? ? ? ??現(xiàn)在回到問題：如何求任意兩點(diǎn)之間最短路徑呢？通過之前的學(xué)習(xí)我們知道通過深度或廣度優(yōu)先搜索可以求出兩點(diǎn)之間的最短路徑。所以進(jìn)行n2遍深度或廣度優(yōu)先搜索，即對(duì)每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)都進(jìn)行一次深度或廣度優(yōu)先搜索，便可以求得任意兩點(diǎn)之間的最短路徑。可是還有沒有別的方法呢？

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? ?? ???我們來想一想，根據(jù)我們以往的經(jīng)驗(yàn)，如果要讓任意兩點(diǎn)（例如從頂點(diǎn)a點(diǎn)到頂點(diǎn)b）之間的路程變短，只能引入第三個(gè)點(diǎn)（頂點(diǎn)k），并通過這個(gè)頂點(diǎn)k中轉(zhuǎn)即a->k->b，才可能縮短原來從頂點(diǎn)a點(diǎn)到頂點(diǎn)b的路程。那么這個(gè)中轉(zhuǎn)的頂點(diǎn)k是1~n中的哪個(gè)點(diǎn)呢？甚至有時(shí)候不只通過一個(gè)點(diǎn)，而是經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)或者更多點(diǎn)中轉(zhuǎn)會(huì)更短，即a->k1->k2b->或者a->k1->k2…->k->i…->b。比如上圖中從4號(hào)城市到3號(hào)城市（4->3）的路程e[4][3]原本是12。如果只通過1號(hào)城市中轉(zhuǎn)（4->1->3），路程將縮短為11（e[4][1]+e[1][3]=5+6=11）。其實(shí)1號(hào)城市到3號(hào)城市也可以通過2號(hào)城市中轉(zhuǎn)，使得1號(hào)到3號(hào)城市的路程縮短為5（e[1][2]+e[2][3]=2+3=5）。所以如果同時(shí)經(jīng)過1號(hào)和2號(hào)兩個(gè)城市中轉(zhuǎn)的話，從4號(hào)城市到3號(hào)城市的路程會(huì)進(jìn)一步縮短為10。通過這個(gè)的例子，我們發(fā)現(xiàn)每個(gè)頂點(diǎn)都有可能使得另外兩個(gè)頂點(diǎn)之間的路程變短。好，下面我們將這個(gè)問題一般化。

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? ?? ???當(dāng)任意兩點(diǎn)之間不允許經(jīng)過第三個(gè)點(diǎn)時(shí)，這些城市之間最短路程就是初始路程，如下。

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假如現(xiàn)在只允許經(jīng)過1號(hào)頂點(diǎn)，求任意兩點(diǎn)之間的最短路程，應(yīng)該如何求呢？只需判斷e[i][1]+e[1][j]是否比e[i][j]要小即可。e[i][j]表示的是從i號(hào)頂點(diǎn)到j(luò)號(hào)頂點(diǎn)之間的路程。e[i][1]+e[1][j]表示的是從i號(hào)頂點(diǎn)先到1號(hào)頂點(diǎn)，再?gòu)?號(hào)頂點(diǎn)到j(luò)號(hào)頂點(diǎn)的路程之和。其中i是1~n循環(huán)，j也是1~n循環(huán)，代碼實(shí)現(xiàn)如下。

for (i = 1; i <= n; i++) {for (j = 1; j <= n; j++){if (e[i][j] > e[i][1] + e[1][j])e[i][j] = e[i][1] + e[1][j];} }

在只允許經(jīng)過1號(hào)頂點(diǎn)的情況下，任意兩點(diǎn)之間的最短路程更新為：

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? ?? ???通過上圖我們發(fā)現(xiàn)：在只通過1號(hào)頂點(diǎn)中轉(zhuǎn)的情況下，3號(hào)頂點(diǎn)到2號(hào)頂點(diǎn)（e[3][2]）、4號(hào)頂點(diǎn)到2號(hào)頂點(diǎn)（e[4][2]）以及4號(hào)頂點(diǎn)到3號(hào)頂點(diǎn)（e[4][3]）的路程都變短了。

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? ?? ???接下來繼續(xù)求在只允許經(jīng)過1和2號(hào)兩個(gè)頂點(diǎn)的情況下任意兩點(diǎn)之間的最短路程。如何做呢？我們需要在只允許經(jīng)過1號(hào)頂點(diǎn)時(shí)任意兩點(diǎn)的最短路程的結(jié)果下，再判斷如果經(jīng)過2號(hào)頂點(diǎn)是否可以使得i號(hào)頂點(diǎn)到j(luò)號(hào)頂點(diǎn)之間的路程變得更短。即判斷e[i][2]+e[2][j]是否比e[i][j]要小，代碼實(shí)現(xiàn)為如下。

//經(jīng)過1號(hào)頂點(diǎn) for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)if (e[i][j] > e[i][1]+e[1][j]) e[i][j]=e[i][1]+e[1][j]; //經(jīng)過2號(hào)頂點(diǎn) for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)if (e[i][j] > e[i][2]+e[2][j]) e[i][j]=e[i][2]+e[2][j];

在只允許經(jīng)過1和2號(hào)頂點(diǎn)的情況下，任意兩點(diǎn)之間的最短路程更新為：

? ?? ???通過上圖得知，在相比只允許通過1號(hào)頂點(diǎn)進(jìn)行中轉(zhuǎn)的情況下，這里允許通過1和2號(hào)頂點(diǎn)進(jìn)行中轉(zhuǎn)，使得e[1][3]和e[4][3]的路程變得更短了。

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? ?? ???同理，繼續(xù)在只允許經(jīng)過1、2和3號(hào)頂點(diǎn)進(jìn)行中轉(zhuǎn)的情況下，求任意兩點(diǎn)之間的最短路程。任意兩點(diǎn)之間的最短路程更新為：

? ?? ???最后允許通過所有頂點(diǎn)作為中轉(zhuǎn)，任意兩點(diǎn)之間最終的最短路程為：

? ?? ???整個(gè)算法過程雖然說起來很麻煩，但是代碼實(shí)現(xiàn)卻非常簡(jiǎn)單，核心代碼只有五行：

for(k=1;k<=n;k++)for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j])e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];

這段代碼的基本思想就是：最開始只允許經(jīng)過1號(hào)頂點(diǎn)進(jìn)行中轉(zhuǎn)，接下來只允許經(jīng)過1和2號(hào)頂點(diǎn)進(jìn)行中轉(zhuǎn)……允許經(jīng)過1~n號(hào)所有頂點(diǎn)進(jìn)行中轉(zhuǎn)，求任意兩點(diǎn)之間的最短路程。用一句話概括就是：從i號(hào)頂點(diǎn)到j(luò)號(hào)頂點(diǎn)只經(jīng)過前k號(hào)點(diǎn)的最短路程。

#include int main() {int e[10][10],k,i,j,n,m,t1,t2,t3;int inf=99999999; //用inf(infinity的縮寫)存儲(chǔ)一個(gè)我們認(rèn)為的正無窮值//讀入n和m，n表示頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，m表示邊的條數(shù)scanf("%d %d",&n,&m);//初始化for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)if(i==j) e[i][j]=0;else e[i][j]=inf;//讀入邊f(xié)or(i=1;i<=m;i++){scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3);e[t1][t2]=t3;}//Floyd-Warshall算法核心語句for(k=1;k<=n;k++)for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j] )e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];//輸出最終的結(jié)果for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++)printf("%10d",e[i][j]);printf("\n");}return 0; }

? ?? ???另外需要注意的是：Floyd-Warshall算法不能解決帶有“負(fù)權(quán)回路”（或者叫“負(fù)權(quán)環(huán)”）的圖，因?yàn)閹в小柏?fù)權(quán)回路”的圖沒有最短路。例如下面這個(gè)圖就不存在1號(hào)頂點(diǎn)到3號(hào)頂點(diǎn)的最短路徑。因?yàn)?->2->3->1->2->3->…->1->2->3這樣路徑中，每繞一次1->-2>3這樣的環(huán)，最短路就會(huì)減少1，永遠(yuǎn)找不到最短路。其實(shí)如果一個(gè)圖中帶有“負(fù)權(quán)回路”那么這個(gè)圖則沒有最短路。

迪杰斯特拉算法要求所有邊的權(quán)值均非負(fù)，弗洛伊德算法允許圖中有帶負(fù)權(quán)值的邊，但不允許有包含帶負(fù)權(quán)值的邊組成的回路。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Floyd-傻子也能看懂的弗洛伊德算法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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