1. 前言

凝聚態物質是由大量粒子組成，并且粒子間存在較強相互作用的系統。物質的靜態結構由系統的基態決定，而物質的動力學性質與其激發態相關聯。前文中我們討論了彈性中子散射方法研究凝聚態物質的晶體結構和磁結構，在此我們將討論非彈性中子散射方法研究凝聚態物質的動力學特性。凝聚態物質的動力學特性通常表現為集體激發現象，并且與其熱學性能和磁性能等物理性質直接相關，是深入理解結構相變和磁相變以及溫度依賴現象的重要基礎。物質的動力學特性可以通過對系統元激發的實驗研究直接得到。非彈性中子散射方法是研究凝聚態物質中元激發，包括聲子激發、自旋波激發和晶場激發等的重要實驗方法。

? 在自旋晶格系統中，磁性離子自旋的有序排列狀態就是系統的基態，比如常見的鐵磁有序、反鐵磁有序和亞鐵磁有序基態。如果系統的基態受到微擾，例如某一個初始格點上的自旋偏離量子化軸的方向，那么系統將處于一個低能激發態。由于相鄰自旋之間存在相互作用就會使臨近初始格點的自旋取向也發生改變，并且繼續影響次近鄰格點自旋，最后以集體偏離軸向的運行形式擴散和傳播。同時相鄰自旋也會通過自旋間的相互作用試圖使偏離量子化軸方向的初始格點上的自旋方向恢復軸向狀態。最終在物質的晶格中會形成自旋的震蕩，表現為自旋在格點上類似波動行為的進動。這種自旋的波動就是自旋波，自旋波的量子就是磁振子。磁振子和晶格振動對應的聲子一樣，都是凝聚態物質中的集體激發，并服從波色統計分布規律，因此也是一種玻色子。通過研究自旋波的色散關系，基于哈密頓量模型獲得自旋相互作用系統的本征態，我們就能得到自旋之間的相互作用特性。

圖1凝聚態物質中的重要元激發：聲子-格波的量子和磁振子-自旋波的量子。

研究自旋波激發的關鍵在于得到準確的色散關系，即，也就是哈密頓量的本征值和激發的動量之間的關系。因此我們研究自旋波色散關系就必須應用能夠與研究體系發生能量和動量交換的探針。雖然不同的磁性體系具有不同的磁轉變溫度，對應著不同的磁相互作用強度和磁激發能量，但是絕大多數磁性體系的磁激發能量一般在幾個毫電子伏特(meV)到幾百個毫電子伏特之間。而典型的冷中子和熱中子的能量恰好能夠覆蓋幾個meV到幾百個meV的能量范圍。 此外，凝聚態體系中動量與其原子間距相關，一般都落在幾個?^-1的范圍內，這也正是中子的可探測范圍。加之中子磁偶極矩的存在，使中子與體系中原子磁矩之間產生相互作用，因此中子是研究磁激發的最有效的微探針。當中子射向凝聚態體系，并被體系散射之后后，通過建立動量轉移和能量轉移之間的關系，我們便可以從實驗上得到體系的自旋波激發色散關系，并通過建立理論模型對其色散關系進行分析研究。

2. 非彈性中子散射方法

? 前文中我們已經討論過，當中子在被體系散射的過程中不發生能量變化的過程為彈性散射，而非彈性散射過程必然伴隨發生能量的轉移。彈性中子散射過程中的入射矢量k_i和出射矢量k_f方向不同大小相等(圖2)。而在非彈性中子散射過程中，能量在中子和體系之間發生轉移，散射矢量關系也相應地發生變化(圖3)。入射矢量和出射矢量與散射矢量以及能量之間的關系為：

圖2對應于倒空間中鍺(400)衍射峰的彈性散射過程的矢量關系(k_i = k_f)。

圖3對應于倒空間中鍺Q= (4.6,0.6,0)位置，能量為10meV的非彈性散射過程的矢量關系(k_i≠ k_f)。

通過非彈性中子散射方法可測得的動量轉移和能量轉移范圍與入射中子的能量密切相關，因此在儀器硬件不受限的條件下首先要保證入射矢量、出射矢量和散射矢量之間能夠形成三角閉環，其次要保證在特定的布里淵區能夠實現預期的能量轉移。非彈性中子散射方法的應用，特別是在自旋波激發方面的應用主要可以通過三軸中子譜儀和飛行時間中子譜儀這兩類譜儀裝置得以實現。

2.1三軸中子譜儀

? 三軸中子譜儀是最常用的研究自旋波激發的實驗裝置。三軸中子譜儀的發明人Bertram N. Brockhouse 因其在中子譜學發展中的重要貢獻，和發展了中子衍射技術的CliffordG. Shull共同獲得了1994年的諾貝爾物理學獎。顧名思義，中子三軸譜儀具有三個旋轉軸，在三個旋轉軸上分別放置三個重要部件，依次是單色器、樣品和分析晶體。旋轉單色器可以得到不同波長/能量的入射中子，旋轉樣品可以得到不同的散射角和入射中子波矢，旋轉分析晶體可以得到不同波長/能量的散射中子。通過三個軸的聯動旋轉我們就能夠得到在倒空間平面中各個位置的能量變化。在三軸譜儀的實際應用中，我們一般通過分析晶體固定出射中子的能量，通過改變動量轉移或者能量轉移來分別獲得固定能量掃描和固定動量掃描實驗結果。一般來說三軸中子譜儀都是依托能夠提供穩定中子束流的反應堆中子源搭建，通過中子光學器件不但可以對中子的能量進行選擇并可以有效地聚焦中子增加束流強度。由于三軸譜儀的散射幾何清晰明確，因此一般相比飛行時間中子譜儀具有更好的空間和能量分辨率。

圖4位于法國格勒諾布爾的勞厄-朗之萬研究所(ILL)的冷中子三軸譜儀IN12的示意圖和實物圖。

采用三軸中子譜儀在倒空間中的掃描一般都是線掃描(固定Q掃描或固定E掃描)，如果想得到整個倒空間的激發信號就必須進行逐個線掃描然后整合在一起，這個測試過程非常耗時，因此人們也發展了多路器分析技術，通過增加分析晶體建立更多的分析通道，覆蓋更大的測試區間，提高測試效率。在利用非彈性中子散射技術研究體系元激發的過程中，我們需要首先建立實空間和倒空間的轉換關系并通過矩陣參數切換，通常非彈實驗的測試范圍還受到三軸譜儀的硬件和空間限制，通過vTAS模擬軟件可以直觀地展示三軸譜儀布局和相應測試區間的矢量關系，對于理解非彈性中子散射實驗和進行實驗設計非常有幫助。

根據入射中子的能量以及相應的能量探測范圍，三軸中子譜儀一般可以分為冷三軸和熱三軸。目前我國也已經依托研究反應堆建設了數臺三軸中子譜儀，包括四川綿陽的中國綿陽研究堆(CMRR)的冷中子三軸譜儀“鯤鵬”；中國先進研究堆(CARR)的中德熱中子三軸譜儀SV30(固定k_i模式)，中科院物理所依托中國先進研究堆(CARR)建設的熱中子三軸譜儀“翠竹”，中國人民大學依托中國先進研究堆(CARR)建設的冷中子三軸極化譜儀“行知”以及中國人民大學依托中國先進研究堆(CARR)建設的冷中子廣譜譜儀“博雅”。這些譜儀在凝聚態物質的動力學研究方面已經取得了許多優秀的科研成果。

三軸中子譜儀目前在技術方面已經發展地非常成熟，Gen Shirane等在Neutron Scattering witha Triple-Axis Spectrometer Basic Techniques這本書里對三軸譜儀的原理和應用做了非常詳盡的描述，特別是對分辨率方程(resolution function)和偽峰(spurious peaks)方面的講解是同時基于散射原理和實踐經驗的全面總結，因此是依托三軸譜儀完成非彈性中子散射實驗的重要參考。具體內容可參考該書，本文中就不展開討論了。

2.2飛行時間中子譜儀

? 由于中子的能量和它的速度平方成正比，因此不同飛行速度的中子具有不同的能量。中子在被材料體系散射后，我們通過測量被樣品散射的中子在樣品和探測器之間已知的固定距離的飛行時間，就能夠得到被散射中子的能量，從而判斷中子和樣品之間的能量交換，實現對非彈性中子散射的能量分析。然而采用飛行時間方法用到的中子脈沖都是微秒級別，在第一束中子到達探測器之后下一束中子脈沖才能開始飛行，因此這一方法更適用于脈沖式散裂中子源。雖然在反應堆式的穩態中子源也可以通過加裝費米斬波器應用飛行時間中子譜儀，但是中子的利用效率較低，一般只有2%左右。飛行時間中子譜儀可以有兩種設置，一種是直接幾何，另一種是非直接幾何，或者稱為逆幾何(圖5)。在直接幾何非彈譜儀中，入射中子首先通過斬波器被單色化，在和樣品發生散射后又被不同散射角度的探測器探知。探測器記錄散射中子的角度位置以及到達探測器的時間，并據此得到散射中子的波矢和能量。在非直接幾何譜儀中，寬波段的中子射向樣品，隨后通過一系列分析晶體對散射中子的能量進行分析。雖然我國還沒有可用的非彈性中子散射飛行時間譜儀，但是目前中山大學和散裂中子源科學中心正在依托中國散裂中子源聯合建設高能直接幾何非彈性中子散射飛行時間譜儀，該譜儀預計2022年底完成譜儀建設并面向用戶開放。此外，依托中國散裂中子源的非直接幾何譜儀非彈性中子譜儀也在規劃建設中。

圖5直接幾何和非直接幾何非彈性中子散射飛行時間譜儀的中子飛行路徑圖。

3. 自旋波激發理論模型

? 具有自發磁矩的鐵磁體中所有的自旋都平行排列，因此其磁晶胞和化學晶胞大小一致，并且交換常數大于零。通過鐵磁自旋波理論可以對低能海森堡哈密頓量近似對角化得到自旋波解，其自旋波具有二次方色散特征(圖6)。具有自旋反平行排列特征的反鐵磁體的磁晶胞一般大于其化學晶胞，并且交換常數小于零。通過反鐵磁自旋波理論結合雙子晶格模型可以對低能海森堡哈密頓量近似對角化得到自旋波解，其自旋波具有線性色散特征(圖6)。自旋波激發理論的詳細推導可以很容易在固體物理或磁性物理教科書中找到，這里不再詳述。

圖6鐵磁體和反鐵磁體的低溫自旋波色散關系，D₀為各向異性常數。

4. 自旋波激發研究實例

?? 同時具有鐵磁性和鐵電性的多鐵材料一直以來都是材料科學和凝聚態物理研究領域關注的熱點，特別是具有較強磁電耦合的多鐵材料更是蘊含了豐富的物理現象和物理內涵。MnWO₄化合物是一種典型的自旋驅動鐵電材料，因此深入研究該多鐵材料的自旋動力學不但有助于理解其多鐵特性并且有助于探索本征的磁電耦合機理。MnWO₄為單斜P2/c結構，高自旋的Mn²⁺離子是晶胞中唯一的磁性離子，具有反鐵磁的磁基態，傳播矢量為k= (±1/4, 1/2, 1/2)，磁結構如下圖所示。

圖7MnWO₄多鐵化合物的低溫晶體結構和反鐵磁磁結構示意圖。

? 通過MnWO₄化合物13.5K的磁轉變溫度可以判斷其自旋波激發主要集中在低能量范圍，因此可以選取冷中子非彈性中子散射譜儀對其自旋波激發進行研究。位于德國慕尼黑海因茨·邁爾－萊布尼茨中心(MLZ)反應堆，由德國于利希中子科學中心(JCNS)運行的冷中子三軸譜儀PANDA和位于美國橡樹嶺國家實驗室(ORNL)散裂中子源(SNS)的冷中子飛行時間譜儀CNCS都是理想的選擇。首先采用浮區單晶生長方法獲得具有5克左右質量的大塊單晶樣品，并用勞厄衍射儀對單晶樣品進行定向，使晶體的[102]和[010]方向保持在散射平面內，這樣就能夠通過非彈性中子實驗獲得磁布里淵區內沿著高對稱方向的各點，如圖8所示。在采用冷中子三軸譜儀PANDA展開實驗的過程中我們采用PG(002)單色器，同時在分析晶體前放置Be過濾器用于過濾高階諧波中子。實驗采用固定k_f = 1.2 ?^-1的模式，并有散射矢量 Q =(q_x,q_y,q_z)?^-1, (HKL) = (q_xa/2π,q_yb/2π,q_zc/2π)。圖9是分別沿[102]和[010]方向測得的磁激發信號。

圖8MnWO₄單晶及其定向示意圖。

圖9沿[102]和[010]方向的磁激發信號， (a)(c)實驗數據(b)(d)理論計算。

? 通過線性自旋波近似可以對非彈性中子散射數據進行分析。首先，建立包含自旋交換部分和各向異性部分的海森堡哈密頓量：

其中J_ij代表圖7中所示從J₁到J₁₂的自旋交換常數。Ds代表單軸單離子各向異性常數。MnWO₄化合物共線反鐵磁基態的磁單胞中總共有8個自旋，其中4個向上，4個向下。引入升降算符后可以對量子自旋進行線性的霍斯坦因-普里馬科夫變換，有：

式中和以及和都滿足對易關系。對玻色算符進行傅里葉變換有：

獲得動量空間中的玻色哈密頓量為：

其中由4個自共軛的厄米矩陣組成，有：

為了獲得矩陣元素值需要對包含每個交換常數的項進行歸納整理，下面是對最近鄰項J₁以及其它幾個交換常數的推導示例。

最后得到的矩陣元素為：

其中部分矩陣元素存在共軛關系，歸納整理后得到：

矩陣中包含各交換常數的矩陣元素為：

在取得玻色哈密頓量矩陣之后，不能直接用對角化厄米的方法對角化哈密頓量矩陣。需要借助不改變玻色對易關系的轉換矩陣實現對角化，并得到實數本征值。這樣就能夠取得在倒空間中分別與自旋波量子數和自旋波態向量對應的本征值和本征矢量。這里我們用的是線性自旋波近似方法，而沒有考慮自旋波之間的相互作用，如果把相互作用部分也加以考慮的話就需要解算符的非線性方程，在一維情況下該非線性方程有孤子解，代表非線性元激發。

? ?結合非彈性中子散射截面就可以在線性自旋波理論模型的基礎上對實驗中子譜進行擬合。非彈性中子散射截面為：

其中k_f和k_i分別為入射矢量和出射矢量，= 0.539×10^-12 cm=5.39 fm為單電子磁散射強度，g為朗德因子，為Mn²⁺的磁形狀因子。為德拜-沃勒因子，是自旋關聯方程。由于MnWO₄的磁單胞中有8個Mn自旋，因此在零場下自旋波應該具有4支，每一支都是二重簡并的。通過擬合交換常數我們可以得到和實驗數據非常吻合的計算自旋波激發譜，如圖9所示，相應地我們可以得到一系列代表自旋相互作用大小和性質的自旋交換常數。

圖10在飛行時間中子譜儀上測得的沿[102]方向通過(1/4,1/2, 1/2)磁峰(a)和(1/4, 1, 1/2)位置(b)的自旋波譜。沿[10-2]方向通過(1/4,1/2, -1/2)磁峰(c)和(1/4, 1, -1/2)位置(d)的自旋波譜。

圖11與圖10中實驗自旋波譜對應的計算自旋波譜。

? 這些自旋波譜也可以通過配備費米斬波器的冷中子飛行時間譜儀獲得(圖10)，入射中子的波長為λ = 4.4 ? 。飛行時間中子譜儀的優勢在于能夠快速完成數據采集工作，通過單次測量就可以覆蓋大面積Q-E空間，而三軸中子譜儀一次只能測得Q-E空間中的一點。由于具有出色的矩陣運算和可視化作圖能力，MATLAB是分析自旋波激發中子數據的優秀軟件之一。附件附上了MATLAB自旋波計算代碼供參考。采用擬合得到的交換常數我們可以計算得到布里淵區中各個方向的自旋波色散關系或者各個能量的自旋波分布情況，例如與實驗自旋波譜對應的沿著 [1 0 2]和[10 ?2]方向的自旋波譜(圖11)，或者任意幾個切面的色散關系(圖12)。

圖12MnWO₄在布里淵區任意面上的自旋波激發譜。

? ?自旋波是磁有序系統中常見的激發模式，可以用經典的海森堡模型進行描述。然而一些復雜磁系統中的相互作用或耦合會導致不能被海森堡模型所描述的復雜的磁激發行為出現，比如動態磁電耦合會導致新的集體激發現象出現，磁性三角晶格中幾何阻搓引起的多重簡并態磁激發等，這些都是引起廣泛關注并值得深入研究的課題。

參考文獻

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[8] J. Wang, et al., Phys. Rev. B 98, 214425 (2018).

總結

以上是生活随笔為你收集整理的散射理论方程_非弹性中子磁散射方法简介之自旋波激发的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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