圖像降噪算法——維納濾波

• 圖像降噪算法——維納濾波
• • 1. 基本原理
  • 2. C++代碼實現
  • 3. 結論

圖像降噪算法——維納濾波

維納濾波是在頻域中處理圖像的一種算法，是一種非常經典的圖像增強算法，不僅可以進行圖像降噪，還可以消除由于運動等原因帶來的圖像模糊。

1. 基本原理

在圖像拍攝過程中由于各種原因會造成圖像退化，圖像退化模型如下：$$g(x,y)=h(x,y)?f(x,y)+\eta (x,y)$$其中，$?$為卷積符號，$f(x,y)$為輸入圖像，$g(x,y)$為退化圖像，$h(x,y)$為退化函數，$\eta (x,y)$為加性噪聲，將上式進行傅里葉變換有：$$G(u,v)=H(u,v)F(u,v)+N(u,v)$$根據傅里葉變換的特性，空間域中的卷積相當于頻率域中的乘積。

(1) 如果不考慮退化函數，圖像退化模型就簡化為圖像噪聲模型：$$g(x,y)=f(x,y)+\eta (x,y)$$圖像增強問題成為單純的圖像去噪問題，可以通過空間域濾波等眾多方法解決。

(2) 如果不考慮加性噪聲，圖像退化模型就簡化為：$$g(x,y)=h(x,y)?f(x,y)$$這種問題可以通過逆濾波解決，即通過傅里葉變化以及陣列除法即可獲得恢復后的圖像頻譜$\hat{F}(u,v)$：$$\hat{F}(u,v)=\frac{G(u,v)}{H(u,v)}$$那么$H(u,v)$怎么獲得呢？《數字圖像處理》中的方法有觀察估計、實驗估計和建模估計，例如建模估計中可以通過運動數學模型將退化函數構造為：$$H(u,v)=\frac{T}{\pi (ua+vb)}\sin [\pi (ua+vb)]{\mathrm{e}}^{?\mathrm{j}\pi (ua+vb)}$$

(3) 如果退化函數和加性噪聲都考慮，空域濾波器無法解決圖像退化問題，逆濾波效果因為噪聲的存在會變得非常差，這個時候就需要用到維納濾波，（維納濾波的推導寫在結論中）維納濾波公式如下：$$\hat{F}(u,v)=\left[\frac{1}{H(u,v)}\frac{|H(u,v){|}^2}{|H(u,v){|}^2+S_{\eta }(u,v)/S_f(u,v)}\right]G(u,v)$$其中，
$S_{\eta }(u,v)=|N(u,v){|}^2$為噪聲的功率譜，這個我們可以通過用戶輸入的方差構造一個噪聲圖像$N(u,v)$并計算功率譜；
$S_f(u,v)=|F(u,v){|}^2$為輸入圖像的功率譜，這里乍一看會覺得有點問題，我們如果知道輸入圖像還需要濾波干嘛？我們當然不知道輸入圖像，因為真實圖像的功率譜都是類似的，因此我們使用一個參考圖像計算功率譜即可，在下面的例子中就是使用的lena的灰度圖作為參考圖像；
下面的例子中我們還對退化函數進行了簡化，將退化函數置為1，因此維納濾波公式簡化為：$$\hat{F}(u,v)=\left[\frac{S_f(u,v)}{S_f(u,v)+S_{\eta }(u,v)}\right]G(u,v)$$

2. C++代碼實現

下面基于OpenCV實現維納濾波

Mat Denoise::WienerFilter(const Mat &src, const Mat &ref, int stddev) {//這些圖片是過程中會用到的，pad是原圖像0填充后的圖像，cpx是雙通道頻域圖，mag是頻域幅值圖，dst是濾波后的圖像Mat pad, cpx, dst;//獲取傅里葉變化最佳圖片尺寸，為2的指數int m = getOptimalDFTSize(src.rows);int n = getOptimalDFTSize(src.cols);//對原始圖片用0進行填充獲得最佳尺寸圖片copyMakeBorder(src, pad, 0, m-src.rows, 0, n-src.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0));//獲得參考圖片頻譜Mat tmpR(pad.rows, pad.cols, CV_8U);resize(ref, tmpR, tmpR.size());Mat refSpectrum = GetSpectrum(tmpR);//獲得噪聲頻譜Mat tmpN(pad.rows, pad.cols, CV_32F);randn(tmpN, Scalar::all(0), Scalar::all(stddev));Mat noiseSpectrum = GetSpectrum(tmpN);//對src進行傅里葉變換Mat planes[] = {Mat_<float>(pad), Mat::zeros(pad.size(), CV_32F)};merge(planes, 2, cpx);dft(cpx, cpx);split(cpx, planes);//維納濾波因子Mat factor = refSpectrum / (refSpectrum + noiseSpectrum);multiply(planes[0], factor, planes[0]);multiply(planes[1], factor, planes[1]);//重新合并實部planes[0]和虛部planes[1]merge(planes, 2, cpx);//進行反傅里葉變換idft(cpx, dst, DFT_SCALE | DFT_REAL_OUTPUT);dst.convertTo(dst, CV_8UC1);return dst; }Mat Denoise::GetSpectrum(const Mat &src) {Mat dst, cpx;Mat planes[] = {Mat_<float>(src), Mat::zeros(src.size(), CV_32F)};merge(planes, 2, cpx);dft(cpx, cpx);split(cpx, planes);magnitude(planes[0], planes[1], dst);//頻譜就是頻域幅度圖的平方multiply(dst, dst, dst);return dst; }

下面是運行結果：
首先是原圖：

添加上高斯噪聲后：

維納濾波的效果：

這個效果看上去有點神奇…

3. 結論

從濾波結果看，和頻域的高斯低通濾波是不同的，從頻域圖上看其實就是篩掉了不同的高頻信號

咱學知識就要學明白，這里我們把維納濾波的推導再過一遍：
維納濾波是采用優化的方法推導的的，優化的目標是是的估計圖像$\hat{F}(u,v)$和參考圖像$F(u,v)$（或者說是輸入圖像）頻譜的均方差最小，即：$$e=E\{|F(u,v)?\hat{F}(u,v){|}^2\}$$將估計圖像頻譜進行替換：$$\begin{array}{rl}e& =E\{|F(u,v)?X(u,v)G(u,v){|}^2\}\\ & =E\{|F(u,v)?X(u,v)[H(u,v)F(u,v)+N(u,v)]{|}^2\}\\ & =E\{|[1?X(u,v)H(u,v)]F(u,v)?X(u,v)N(u,v){|}^2\}\end{array}$$其中，$X(u,v)$就是我們需要估計的維納濾波系數，然后對平方進行展開$$\begin{array}{rl}e& =[1?X(u,v)H(u,v)][1?X(u,v)H(u,v){]}^{?}\times E\{|F(u,v){|}^2\}\\ & ?[1?X(u,v)H(u,v)]X^{?}(u,v)\times E\left\{F(u,v)N^{?}(u,v)\right\}\\ & ?X(u,v)[1?X(u,v)H(u,v){]}^{?}\times E\left\{F(u,v{)}^{?}N(u,v)\right\}\\ & +X(u,v)X^{?}(u,v)\times E\{|N(u,v){|}^2\}\end{array}$$其中，由于噪聲和信號是獨立無關的，因此$$E\left\{F(u,v)N(u,v)\right\}=E\left\{F(u,v)N(u,v)\right\}=0$$定義如下功率譜有：$$\begin{array}{l}{S}_f(u,v)=E\{|F(u,v){|}^2\}\\ S_{\eta }(u,v)=E\{|N(u,v){|}^2\}\end{array}$$于是有：$$e=[1?X(u,v)H(u,v)][1?X(u,v)H(u,v){]}^{?}{S}_f(u,v)+X(u,v)X^{?}(u,v)(f)S_{\eta }(u,v)$$然后對$X(u,v)$求導$$\frac{\mathrm{d}(e)}{\mathrm{d}X(u,v)}=X^{?}(u,v)S_{\eta }(u,v)?X(u,v)[1?X(u,v)H(u,v)){]}^{?}{S}_f(u,v)=0$$求解可獲得維納濾波公式。

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此外，這里我寫一個各種算法的總結目錄圖像降噪算法——圖像降噪算法總結，對圖像降噪算法感興趣的同學歡迎參考

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的图像降噪算法——维纳滤波的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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