對數(shù)函數(shù)是重要的函數(shù)，自然也是高考的知識點，學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)常會遇到一些難點，使解題思維陷入困境，歸納起來主要有三個方面。

難點1?底數(shù)不統(tǒng)一

對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是建立在底數(shù)相同的基礎(chǔ)上的，但實際問題中，卻經(jīng)常要遇到底數(shù)不相同的情況，碰到這種情形，該如何來突破呢？主要有三種處理的方法：

(1)化為指數(shù)式

對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們之間有著密切的關(guān)系：log_aN=ba^b=N，因此在處理有關(guān)對數(shù)問題時，經(jīng)常將對數(shù)式化為指數(shù)式來幫助解決。

(2)利用換底公式統(tǒng)一底數(shù)

換底公式可以將底數(shù)不同的對數(shù)通過換底把底數(shù)統(tǒng)一起來，然后再利用同底對數(shù)相關(guān)的性質(zhì)求解。

(3)利用函數(shù)圖象

函數(shù)圖象可以將函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)直觀地顯現(xiàn)出來，當(dāng)對數(shù)的底數(shù)不相同時，可以借助對數(shù)函數(shù)的圖象直觀性來理解和尋求解題的思路。

例1.?若a≠1，b≠1，a＞0，b＞0，且滿足關(guān)系式log_a2=，求a，b的值。

分析：已知關(guān)系式中的底數(shù)不相同，因此可設(shè)log_a2==m，轉(zhuǎn)化為指數(shù)來來解決

解：設(shè)log_a2==m，則

。

于是有??，

因為???a^m＞0,

所以???????，

于是???????log_a2=log_b3=－１，

解得???????。

例2.?設(shè)log₂3=a，log₃7=b，求log₄₂56的值。

分析：兩個已知對數(shù)式的底數(shù)不相同，無法直接進(jìn)行計算，所以首先應(yīng)考慮統(tǒng)一底數(shù)，從條件看應(yīng)該把底數(shù)統(tǒng)一為3。

解：由log₂3=a，可得

，

所以

。

例3.?若log_a2＜log_b2＜0，則a，b滿足的關(guān)系是(??????)

(A)1＜a＜b

(B)1＜b＜a

(C)0＜a＜b＜1

(D)0＜b＜a＜1

分析：兩個對數(shù)式底數(shù)不同，但真數(shù)相同，把兩個對數(shù)式看作是兩個對數(shù)函數(shù)在自變量取同一個值時的兩個不同的函數(shù)值，可通過圖象來分析。

解：log_a2，log_b2可以看成是對數(shù)函數(shù)y=?log_ax，y=?log_bx在x=2時的兩個函數(shù)值，可得大致圖象(如圖)。顯然，a，b均小于1，

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的底數(shù)和圖象的關(guān)系可得0＜b＜a＜1，故選(D)。

難點2.?真數(shù)是和差的形式

利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可將運(yùn)算級別較高的運(yùn)算降底為級別較低的運(yùn)算，而和與差是運(yùn)算中的最低級別，所以在處理真數(shù)是和差形式的對數(shù)問題時，難度較大，主要有兩種處理方法：①整體考慮；②對真數(shù)因式分解。

例4.?求滿足等式

的x的值。

分析：所給等式出現(xiàn)了對數(shù)之和的同時，又出現(xiàn)了一項含有x但又不帶對數(shù)符號的項，因此直接運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算法則及相關(guān)的性質(zhì)無法運(yùn)算，但兩個帶有對數(shù)符號的項的結(jié)構(gòu)相似，因此解答此題要從結(jié)構(gòu)上整體考慮。

解：由，

得，

所以??

?????，

令f(x)=

f(2x)=，

于是有???f(x)=－f(2x)，

易證??f(x)是R的減函數(shù)，又是奇函數(shù)，

故由f(x)=f(－2x)，可得

x=－2x，x=0。

難點3?對數(shù)與對數(shù)相乘

兩對數(shù)相乘無法利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解，因此在解決此類問題時，要根據(jù)所給的關(guān)系式認(rèn)真分析其結(jié)構(gòu)特點，主要有三種處理方法：①利用換底公式；②整體考慮；③化各對數(shù)為和差的形式。

例5.?設(shè)log₂3·log₃4·log₄5·log₅6·log₆7·log₇8·log₈m=log₃27，求m的值。

分析：已知等式是七個對數(shù)之積，其特點是：從第二個對數(shù)開始的每一個對數(shù)的底數(shù)是前一個對數(shù)的真數(shù)，真數(shù)是后一個對數(shù)的底數(shù)，因此采用換底公式將各對數(shù)換成以2為底的兩個對數(shù)的商，然后約分可達(dá)到目的。

解：由已知條件得

log₂3·log₃4·log₄5·log₅6·log₆7·log₇8·log₈m

=log₂3·

=log₂m=log₃27=3

所以m=8。

例6.?計算：(lg2)²lg250+(lg5)²lg40。

分析：對數(shù)的乘積，無法直接運(yùn)用對數(shù)性質(zhì)，可以將對數(shù)lg250，lg40的真數(shù)分解為積的形式，進(jìn)而將對數(shù)轉(zhuǎn)化為和差的形式。

解：原式

=(lg2)²lg(5²×10)+(lg5)²lg(2²×10)

=(lg2)²(2lg5+1)+(lg5)²(2lg2+1)

=(lg2)²+2lg2(lg5)²+2lg5(lg2)²+(lg5)²

=(lg2)²+2lg2lg5(lg5+lg2)+(lg5)²

=(lg2)²+2lg2lg5+(lg5)²

=(lg2+lg5)²=(lg10)²=1。

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總結(jié)

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