舉例來說，+8在計(jì)算機(jī)中表示為二進(jìn)制的1000，那么-8怎么表示呢？

很容易想到，可以將一個(gè)二進(jìn)制位(bit)專門規(guī)定為符號(hào)位，它等于0時(shí)就表示正數(shù)，等于1時(shí)就表示負(fù)數(shù)。比如，在8位機(jī)中，規(guī)定每個(gè)字節(jié)的最高位為符號(hào)位。那么，+8就是00001000，而-8則是10001000。但是，隨便找一本《計(jì)算機(jī)原理》，都會(huì)告訴你，實(shí)際上，計(jì)算機(jī)內(nèi)部采用2的補(bǔ)碼(Two's Complement)表示負(fù)數(shù)。

什么是2的補(bǔ)碼？

它是一種數(shù)值的轉(zhuǎn)換方法，要分二步完成：

第一步，每一個(gè)二進(jìn)制位都取相反值，0變成1，1變成0。比如，00001000的相反值就是11110111。

第二步，將上一步得到的值加1。11110111就變成11111000。

所以，00001000的2的補(bǔ)碼就是11111000。也就是說，-8在計(jì)算機(jī)(8位機(jī))中就是用11111000表示。

不知道你怎么看，反正我覺得很奇怪，為什么要采用這么麻煩的方式表示負(fù)數(shù)，更直覺的方式難道不好嗎？為什么要用2的補(bǔ)碼？

首先，要明確一點(diǎn)。計(jì)算機(jī)內(nèi)部用什么方式表示負(fù)數(shù)，其實(shí)是無所謂的。只要能夠保持一一對應(yīng)的關(guān)系，就可以用任意方式表示負(fù)數(shù)。所以，既然可以任意選擇，那么理應(yīng)選擇一種最方便的方式。2的補(bǔ)碼就是最方便的方式。它的便利體現(xiàn)在，所有的加法運(yùn)算可以使用同一種電路完成。

還是以-8作為例子。假定有兩種表示方法。一種是直覺表示法，即10001000；另一種是2的補(bǔ)碼表示法，即11111000。請問哪一種表示法在加法運(yùn)算中更方便？

隨便寫一個(gè)計(jì)算式，16 + (-8) = ?

16的二進(jìn)制表示是 00010000，所以用直覺表示法，加法就要寫成：

０００１００００

＋１０００１０００

－－－－－－－－－

１００１１０００

可 以看到，如果按照正常的加法規(guī)則，就會(huì)得到10011000的結(jié)果，轉(zhuǎn)成十進(jìn)制就是-24。顯然，這是錯(cuò)誤的答案。也就是說，在這種情況下，正常的加法規(guī) 則不適用于正數(shù)與負(fù)數(shù)的加法，因此必須制定兩套運(yùn)算規(guī)則，一套用于正數(shù)加正數(shù)，還有一套用于正數(shù)加負(fù)數(shù)。從電路上說，就是必須為加法運(yùn)算做兩種電路。

現(xiàn)在，再來看2的補(bǔ)碼表示法。

０００１００００

＋１１１１１０００

－－－－－－－－－

１００００１０００

可以看到，按照正常的加法規(guī)則，得到的結(jié)果是100001000。注意，這是一個(gè)9位的二進(jìn)制數(shù)。我們已經(jīng)假定這是一臺(tái)8位機(jī)，因此最高的第9位是一個(gè)溢出位，會(huì)被自動(dòng)舍去。所以，結(jié)果就變成了00001000，轉(zhuǎn)成十進(jìn)制正好是8，也就是16 + (-8) 的正確答案。這說明了，2的補(bǔ)碼表示法可以將加法運(yùn)算規(guī)則，擴(kuò)展到整個(gè)整數(shù)集，從而用一套電路就可以實(shí)現(xiàn)全部整數(shù)的加法。

2的補(bǔ)碼的本質(zhì)及正確性

我們要看先一下模的概念

“?！笔侵敢粋€(gè)計(jì)量系統(tǒng)的計(jì)數(shù)范圍。如時(shí)鐘等。計(jì)算機(jī)也可以看成一個(gè)計(jì)量機(jī)器，它也有一個(gè)計(jì)量范圍，即都存在一個(gè)“模”。例如：時(shí)鐘的計(jì)量范圍是0～11，模=12。表示n位的計(jì)算機(jī)計(jì)量范圍是0～2^(n)-1，模=2^(n)?！澳！睂?shí)質(zhì)上是計(jì)量器產(chǎn)生“溢出”的量，它的值在計(jì)量器上表示不出來，計(jì)量器上只能表示出模的余數(shù)。任何有模的計(jì)量器，均可化減法為加法運(yùn)算。例如：

假設(shè)當(dāng)前時(shí)針指向10點(diǎn)，而準(zhǔn)確時(shí)間是6點(diǎn)，調(diào)整時(shí)間可有以下兩種撥法：你可以往回?fù)?個(gè)小時(shí)，也可以向前撥8個(gè)小時(shí)(12-10+6，在鐘表系統(tǒng)里模是12)。在以12模的系統(tǒng)中，加8和減4效果是一樣的，因此凡是減4運(yùn)算，都可以用加8來代替。對“模”而言，8和4互為補(bǔ)數(shù)。實(shí)際上以12模的系統(tǒng)中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有這個(gè)特性。共同的特點(diǎn)是兩者相加等于模。對于計(jì)算機(jī)，其概念和方法完全一樣。n位計(jì)算機(jī)，設(shè)n=8， 所能表示的最大數(shù)是11111111，若再加1稱為100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丟失。又回了00000000，所以8位二進(jìn)制系統(tǒng)的模為2^8。 在這樣的系統(tǒng)中減法問題也可以化成加法問題，只需把減數(shù)用相應(yīng)的補(bǔ)數(shù)表示就可以了。

再次重申一下這句話：

在以12模的系統(tǒng)中，加8和減4效果是一樣的，因此凡是減4運(yùn)算，都可以用加8來代替。所以對于模為10000 0000的8位系統(tǒng)來說，減去b和加上10000 0000-b是一個(gè)道理，而(10000 0000-b)是什么？恰好就是b的補(bǔ)碼。

補(bǔ)碼怎么求，“取反加一”這口訣怎么來的？

承認(rèn)了8 - 5 = 8 + (-5的補(bǔ)碼)這個(gè)事實(shí)后，我們來看-5的補(bǔ)碼怎么求，“取反加一”怎么來的

其實(shí)看完了上面的模的問題，該問題的答案基本已經(jīng)出來了

-5的補(bǔ)碼是 10000 0000 - 5 = 1111 1111 + 1 -5 = (1111 1111 - 5) + 1

1111 1111減去一個(gè)數(shù)事實(shí)上就是在對這個(gè)數(shù)取反，后面那個(gè)是+1

兩個(gè)小問題的解釋：

(1)32位系統(tǒng)里，int的最大值為01111111 11111111 11111111 11111111，加1之后為10000000?? 00000000?? 00000000?? 00000000。這個(gè)數(shù)是什么？

首先這是個(gè)負(fù)數(shù)-->負(fù)數(shù)在計(jì)算器里都是補(bǔ)碼形式存放-->這是個(gè)補(bǔ)碼-->那么真值是？--> -2147483648(已知負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼求該負(fù)數(shù)，不會(huì)求的百度一下吧。

(2)對于unsigned，最大值(32個(gè)1)加1后最前面的1自然丟失，剩下32個(gè)0，所以就是0。

總結(jié)

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