數學建模十五大經典數學模型

1.灰色預測

基于灰色建模理論的灰色預測法，按照其預測問題的特征，可分為五種基本類型，即數列預測、災變預測、季節災變預測、拓撲預測和系統綜合預測。這五種類型的預測方法，都是區域開發研究中重要而且常用的預測方法。

2.灰色關聯分析方法

在實際問題中，許多因素之間的關系是灰色的，人們很難分清哪些因素是主導因素，哪些因素是非主導因素；哪些因素之間關系密切，哪些不密切?；疑P聯分析，為我們解決這類問題提供了一種行之有效的方法。

3.主成分分析方法

地理環境是多要素的復雜系統，在我們進行地理系統分析時，多變量問題是經常會遇到的。變量太多，無疑會增加分析問題的難度與復雜性，而且在許多實際問題中，多個變量之間是具有一定的相關關系的。因此，我們就會很自然地想到，能否在各個變量之間相關關系研究的基礎上，用較少的新變量代替原來較多的變量，而且使這些較少的新變量盡可能多地保留原來較多的變量所反映的信息？事實上，這種想法是可以實現的，主成分分析方法就是綜合處理這種問題的一種強有力的方法。

4.模糊聚類分析方法

模糊聚類分析，是從模糊集的觀點來探討事物的數量分類的一類方法，主要包括基于模糊等價關系與基于最大模糊支撐樹的模糊聚類分析方法。

5.隨機模擬(蒙特卡羅算法)

隨機模擬法也叫蒙特卡羅法，它是用計算機模擬隨機現象，通過大量仿真試驗，進行分析推斷，特別是對于一些復雜的隨機變量，不能從數學上得到它的概率分布，而通過簡單的隨機模擬就可以得到近似的解答。Monte Carlo 法也用于求解一些非隨機問題，如重積分、非線性方程組求解、最優化問題等。需要指出的是，Monte Carlo計算量大，精度也不高，因而主要用于求那些解析方法或常規數學方法難解問題的低精度解，或用于對其他算法的驗證。

6.多元回歸模型

由于客觀事物內部規律的復雜性及人們認識程度的限制，無法分析實際對象內在的因果關系，建立合乎機理規律的數學模型。所以在遇到有些無法用機理分析建立數學模型的時候，通常采取搜集大量數據的辦法，基于對數據的統計分析去建立模型，其中用途最為廣泛的一類隨即模型就是統計回歸模型。

7.正交試驗設計

正交試驗設計是利用正交表科學的安排與分析多因素試驗的方法，是最常用的試驗設計之一。正交表分為等水平正交表和混合水平正交表。等水平代表各因素所取的水平數相同，混合水平表示各因素的水平數不一定相同。

8.圖論

圖論中的“圖”是指某類具體事物和這些事物之間的聯系。如果我們用點表示這些具體事物，用連接兩點的線段(直的或曲的)表示兩個事物的特定的聯系，就得到了描述這個“圖”的幾何形象。圖論為任何一個包含了一種二元關系的離散系統提供了一個數學模型，借助于圖論的概念、理論和方法，可以對該模型求解。圖論是運籌學中的一個經典和重要的分支，所研究的問題涉及經濟管理、工業工程、交通運輸、計算機科學與信息技術、通訊與網絡技術等諸多領域。其中包括的問題有最短路問題、最大流問題、最小費用流問題和匹配問題等。

9.目標規劃模型

為了克服線性規劃的局限性，目標規劃采用設置偏差量、統一處理目標與約束以及設置目標的優先級與權系數等手段，除剛性約束必須嚴格滿足外，對所有目標約束均允許有偏差。目標規劃的求解過程要從高到低逐層優化，在不增加高層次目標的偏差值的情況下，逐次使低層次的偏差達到極小。

10.馬爾可夫預測方法

對事件的全面預測，不僅要能夠指出事件發生的各種可能結果，而且還必須給出每一種結果出現的概率，說明被預測的事件在預測期內出現每一種結果的可能性程度。這就是關于事件發生的概率預測。馬爾可夫(Markov)預測法，就是一種關于事件發生的概率預測方法。它是根據事件的目前狀況來預測其將來各個時刻(或時期)變動狀況的一種預測方法。馬爾可夫預測法是地理預測研究中重要的預測方法之一。

11.時間序列分析

按照時間的順序把隨機事件變化發展的過程記錄下來就構成了一個時間序列。對時間序列進行觀察、研究，找尋它變化發展的規律，預測它將來的走勢就是時間序列分析

12.模糊綜合評價模型

模糊綜合評判方法，是一種運用模糊數學原理分析和評價具有“模糊性”的事物的系統分析方法。它是一種以模糊推理為主的定性與定量相結合、精確與非精確相統一的分析評價方法。由于這種方法在處理各種難以用精確數學方法描述的復雜系統問題方面所表現出的獨特的優越性，近年來已在許多學科領域中得到了十分廣泛的應用。

13.層次分析模型

層次分析法(簡稱AHP方法)，是一種定性與定量相結合的決策分析方法。它是一種將決策者對復雜系統的決策思維過程模型化、數量化的過程。應用這種方法，決策者通過將復雜問題分解為若干層次和若干因素，在各因素之間進行簡單的比較和計算，就可以得出不同方案的權重，為最佳方案的選擇提供依據。

14.模糊數學方法

模糊數學方法，是一種研究和處理模糊現象的新型數學方法。這一方法，是由美國自動控制專家查德(L.A.Zadeh)于1965年首次提出來的。在經典集合論中，一個元素對于一個集合，要么屬于，要么不屬于，二者必居其一，絕不允許模棱兩可。這一要求就從根本上限定了以經典集合論為基礎的常規數學方法的應用范圍，它只能用來研究那些具有絕對明確的界限的事物和現象。但是，在現實世界中，并非所有事物和現象都具有明確的界限。譬如，“高與矮”，“好與壞”，“美與丑”，……，這樣一些概念之間就沒有絕對分明的界限。嚴格說來，這些概念就是沒有絕對的外延，這些概念被稱之為模糊概念，它們不能用一般集合論來描述，而需要用模糊集合論去描述。

15.模擬退火算法

模擬退火算法來源于材料的熱處理原理，將金屬加溫至充分高，再讓其徐徐冷卻，加溫時，固體內部粒子隨溫升變為無序狀，內能增大，而徐徐冷卻時粒子漸趨有序，在每個溫度都達到平衡態，最后在常溫時達到基態，內能減為最小。根據Metropolis準則，粒子在溫度T時趨于平衡的概率為e-ΔE/(kT)，其中E為溫度T時的內能，ΔE為其改變量，k為Boltzmann常數。用固體退火模擬組合優化問題，將內能E模擬為目標函數值f，溫度T演化成控制參數t，即得到解組合優化問題的模擬退火算法：由初始解i和控制參數初值t開始，對當前解重復“產生新解→計算目標函數差→接受或舍棄”的迭代，并逐步衰減t值，算法終止時的當前解即為所得近似最優解，這是基于蒙特卡羅迭代求解法的一種啟發式隨機搜索過程。退火過程由冷卻進度表(Cooling Schedule)控制，包括控制參數的初值t及其衰減因子Δt、每個t值時的迭代次數L和停止條件S。

總結

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