2.5 稀疏矩陣

2.5.1 矩陣的存儲方式

• 完全存儲方式
• 稀疏存儲方式
  • 稀疏存儲方式只存儲矩陣的非零元素的值及其位置，即行號和列號。

?

注意：采用稀疏存儲方式時，矩陣元素的存儲順序并沒有改變，也是按列的順序進行存儲。

?

舉例：

舉例

2.5.2 稀疏存儲方式的產(chǎn)生

(1)完全存儲方式與稀疏存儲方式之間的轉(zhuǎn)化

• A = sparse(S)：將矩陣 S 轉(zhuǎn)化為稀疏存儲方式的矩陣 A
• S = full(A)：將矩陣 A 轉(zhuǎn)化為完全存儲方式的矩陣 S

>>?A?=?sparse(eye(5))

A?=

???(1,1)????????1
???(2,2)????????1
???(3,3)????????1
???(4,4)????????1
???(5,5)????????1

>>?B?=?full(A)

B?=

?????1?????0?????0?????0?????0
?????0?????1?????0?????0?????0
?????0?????0?????1?????0?????0
?????0?????0?????0?????1?????0
?????0?????0?????0?????0?????1

>>?whos
??Name??????Size????????????Bytes??Class?????Attributes

??A?????????5x5???????????????128??double????sparse????
??B?????????5x5???????????????200??double???????????

(2)直接建立稀疏存儲矩陣

sparse 函數(shù)的其他調(diào)用格式：

• sparse(m,n)：生成一個 m??n 的所有元素都是零的稀疏矩陣
• sparse(u,v,S)：其中 u、v、S 是 3 個等長的向量。S 是要建立的稀疏存儲矩陣的非零元素，u(i)、v(i) 分別是 S(i) 的行和列下標(biāo)

>>?A?=?sparse([1,2,2],[2,1,4],[4,5,7])

A?=

???(2,1)????????5
???(1,2)????????4
???(2,4)????????7

>>?B?=?full(A)

B?=

?????0?????4?????0?????0
?????5?????0?????0?????7

使用 spconvert 函數(shù)直接建立稀疏存儲矩陣，其調(diào)用格式為：B = spconvert(A)

A 為一個 m ?? 3 或 m ?? 4 的矩陣，其每行表示一個非零元素，m 是非零元素的個數(shù)

• A(i,1) 表示第 i 個非零元素所在的行
• A(i,2) 表示第 i 個非零元素所在的列
• A(i,3) 表示第 i 個非零元素值的實部
• A(i,4) 表示第 i 個非零元素值的虛部

若矩陣的全部元素都是實數(shù)，則無須第 4 列

>>?A?=?[2,2,1;2,1,-1;2,4,3]

A?=

?????2?????2?????1
?????2?????1????-1
?????2?????4?????3

>>?B?=?spconvert(A)

B?=

???(2,1)???????-1
???(2,2)????????1
???(2,4)????????3

(3)帶狀稀疏矩陣的稀疏存儲

稀疏矩陣有兩種基本類型：無規(guī)則結(jié)構(gòu)的稀疏矩陣與有規(guī)則結(jié)構(gòu)的稀疏矩陣

帶狀稀疏矩陣是指所有非零元素集中在對角線上的矩陣。

image-20201015151353520>>?A?=?[11,0,0,12,0,0;0,21,0,0,22,0;0,0,31,0,0,32;41,0,0,42,0,0;0,51,0,0,52,0]

A?=

????11?????0?????0????12?????0?????0
?????0????21?????0?????0????22?????0
?????0?????0????31?????0?????0????32
????41?????0?????0????42?????0?????0
?????0????51?????0?????0????52?????0

>>?[B,d]?=?spdiags(A)

B?=

?????0????11????12
?????0????21????22
?????0????31????32
????41????42?????0
????51????52?????0


d?=

????-3
?????0
?????3

>>?A?=?spdiags(B,d,5,6)

A?=

???(1,1)???????11
???(4,1)???????41
???(2,2)???????21
???(5,2)???????51
???(3,3)???????31
???(1,4)???????12
???(4,4)???????42
???(2,5)???????22
???(5,5)???????52
???(3,6)???????32

(4)單位矩陣的稀疏矩陣

• Speye(m,n) 返回一個 m × n 的稀疏存儲單位矩陣

>>?speye(3)

ans?=

???(1,1)????????1
???(2,2)????????1
???(3,3)????????1

2.5.3 稀疏矩陣的應(yīng)用實例

題目>>?kf1?=?[1;1;2;1;0];
>>?k0?=?[2;4;6;6;1];
>>?k1?=?[0;3;1;4;2];
>>?B?=?[kf1,k0,k1];
>>?d?=?[-1;0;1];
>>?A?=?spdiags(B,d,5,5);
>>?f?=?[0;3;2;1;5];
>>?x?=?A\f

x?=

???-0.1667
????0.1111
????2.7222
???-3.6111
????8.6111
與50位技術(shù)專家面對面20年技術(shù)見證，附贈技術(shù)全景圖

總結(jié)

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