核心思想就是嘗試

嘗試出來就成了

reduce differencial equation to the algerbia equations

dx/dt=ax

assume x=e^(at)

m-a=0

ax’’+bx’+bx=0

x=e^(mt)

am^2+bm+c=0

find the tangent plane to the sphere x^2+y2+z^2=14 at the point (1,2,3)

$$z=f(x,y)=\pm$$

$$P(x,y,z)(\frac{?z}{?x})+Q(x,y,z)\frac{?z}{?y}=R(x,y,z)$$

is given implicitly by

$$F(u,v)=0$$

$$\frac{dx}{P}=\frac{dy}{Q}=\frac{dz}{R}$$

$$\frac{y}{\frac{?u}{?x}}=\frac{}{}=\frac{}{}$$

total differencial

$$?dxy=?dy?1=?du1$$

$$\frac{dx}{y}=\frac{y}{?x}?xdx=ydy=0?x^2+y^2=a^2$$

$$\frac{dy}{\sqrt{a^2?y^2}}=\frac{du}{1}$$

$$u+\arcsin \frac{y}{a}=u+\arctan \frac{y}{x}=c_2$$

$$\frac{ydx?xdy}{x^2+y^2}=\frac{du}{1}?$$

$$u(x,y)+\arctan \frac{y}{x}=f(x^2+y^2)$$

$$F(c_1,c_2)=F(x^2+y^2,u+\arctan \frac{y}{x})=0$$

$$u(x,y)+\arctan \frac{y}{x}=f(x^2+y^2)$$

$$y\frac{?u}{?x}?x\frac{?u}{?y}=1$$

$$\frac{dx}{y}=\frac{dy}{?x}=\frac{du}{1}$$

$$\frac{dx}{y}=\frac{dy}{?x}$$

$$xdx+ydy=0$$

$$x^2+y^2=a^2=c_1$$

$$\frac{ydx?xdy}{}$$

chain rule

角度沒有量綱

$$\frac{?u}{?x}=\frac{?u}{?r}\frac{?r}{?x}+\frac{?u}{?\theta }\frac{?\theta }{?x}$$

$$\frac{?u}{?y}=\frac{?u}{?r}\frac{?r}{?y}+\frac{?u}{?\theta }\frac{?\theta }{?y}$$

$$x^2\frac{?u}{?x}+y^2\frac{?u}{?y}=(x+y)u$$

$$\frac{dx}{x^2}=\frac{dy}{y^2}=\frac{du}{(x+y)u}$$

$$\frac{dx}{x^2}=\frac{dy}{y^2}$$

$$F(c_1,c_2,c_3)=F(u,x+y+z,x^2+y^2+z^2)=0$$

在向量分析中，雅可比矩陣（也稱作Jacobi矩陣，英語：Jacobian matrix）是函數的一階偏導數以一定方式排列成的矩陣。

當其為方形矩陣時，其行列式稱為雅可比行列式（Jacobi determinant）。

要注意的是，如果雅可比矩陣為方陣，那在英文中雅可比矩陣跟Jacobi行列式兩者都稱作 Jacobian。

其重要性在于，如果函數 f : ?n → ?m 在點 x 可微的話，在點 x 的雅可比矩陣即為該函數在該點的最佳線性逼近，也代表雅可比矩陣是單變數實數函數的微分在向量值多變數函數的推廣，在這種情況下，雅可比矩陣也被稱作函數 f 在點 x 的微分或者導數。

在代數幾何中，代數曲線的雅可比行列式’表示雅可比簇：伴隨該曲線的一個代數群，曲線可以嵌入其中。

它們全部都以普魯士數學家卡爾·雅可比命名。

總結

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