【轉(zhuǎn)】四元數(shù)的推導(dǎo)過程

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四元數(shù)旋轉(zhuǎn)推導(dǎo)過程

1.基本概念

(1) 四元數(shù)的一般形式如下:q=q0+q1i+q2j+q3kq=q0+q1i+q2j+q3k?
(2) 單位四元數(shù):滿足四元數(shù)的模為1,即q02+q12+q22+q32=1q02+q12+q22+q32=1?
(3) 四元數(shù)的三角形式:q=cosθ2+u??sinθ2q=cosθ2+u→sinθ2?
(4)共軛四元數(shù):q?=q0?q1i?q2j?q3kq?=q0?q1i?q2j?q3k?
(5) 純四元數(shù):q=q1i+q2j+q3kq=q1i+q2j+q3k?
(6)四元數(shù)與空間旋轉(zhuǎn):

Rq(p)=qpq?1Rq(p)=qpq?1

其中:?
qq:單位四元數(shù)?
q?1q?1:四元數(shù)的逆,對(duì)于單位四元數(shù),q?=q?1q?=q?1?
pp:純四元數(shù)?
Rq(p):也是一個(gè)純四元數(shù)Rq(p):也是一個(gè)純四元數(shù)

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2. 歐拉角的萬向鎖問題

先看一個(gè)簡(jiǎn)單的歐拉旋轉(zhuǎn)，如下圖所示：歐拉旋轉(zhuǎn)需要先確定旋轉(zhuǎn)順序，我們可以定義X-Y-Z的順序（總共有12種旋轉(zhuǎn)順序），那么什么是萬向鎖呢，我們可以用手機(jī)在桌子上進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，以手機(jī)的正面為xy平面，以手機(jī)的厚度的方向作為z軸，我們先繞x轉(zhuǎn)一個(gè)角度，然后再繞y軸旋轉(zhuǎn)90度，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題，當(dāng)我們?cè)倮@z軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，效果等同于我開始繞x軸旋轉(zhuǎn)另外一個(gè)角度,再繞y軸旋轉(zhuǎn)90度就行了.?
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我們的歐拉旋轉(zhuǎn)只能表示二維空間了，這是解我們的微分方程會(huì)出現(xiàn)退化現(xiàn)象，造成我們的微分方程無法解的情況。這樣說似乎還是比較模糊，那么我們舉一個(gè)例子:?

如圖所示:XwYwZwXwYwZw是世界坐標(biāo)系,XiYiZiXiYiZi是機(jī)體坐標(biāo)系,我們先繞XiXi軸旋轉(zhuǎn)30°30°,再繞YiYi旋轉(zhuǎn)90°90°,如下圖所示:?
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此時(shí)我們的XwXw和ZiZi在同一直線上,最后我們?cè)倮@ZiZi旋轉(zhuǎn)40°40°,如下圖所示:?
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我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題，無論我們?cè)趺葱D(zhuǎn)，我們的坐標(biāo)都是（30,90，z）,也就是繞z軸的旋轉(zhuǎn)角度我們無法衡量的，這也就是我們的萬向鎖問題。

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3. 四元數(shù)推導(dǎo)

復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)

首先我們看一個(gè)復(fù)數(shù)p=a+bip=a+bi在復(fù)平面的表示:?
現(xiàn)在我們將它旋轉(zhuǎn)角度θθ,先定義另外一個(gè)復(fù)數(shù)q=cosθ+isinθq=cosθ+isinθ,我們發(fā)現(xiàn),復(fù)數(shù)的乘法表示了一種旋轉(zhuǎn):?

qp=(acosθ?bsinθ)+i(asinθ+bcosθ)qp=(acosθ?bsinθ)+i(asinθ+bcosθ)

這個(gè)復(fù)數(shù)恰好就是pp旋轉(zhuǎn)θθ角度后的值:?

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三維復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)

我們看到了二維復(fù)數(shù)乘法可以表示旋轉(zhuǎn)，那么三維空間呢。按照舉一反三的思想，我們會(huì)想到再增加一個(gè)虛數(shù)作為第三個(gè)維度，這個(gè)就要涉及到我們的向量的叉乘，如下圖所示：?
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向量叉乘的結(jié)果是兩個(gè)向量構(gòu)成平面的垂直向量,那么我們定義兩個(gè)個(gè)三維的復(fù)數(shù):?

z1=a1+b1i+c1jz2=a2+b2i+c2jz1=a1+b1i+c1jz2=a2+b2i+c2j

其中i2=j2=?1i2=j2=?1,我們類似的進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法,得到:?

z1z2=(a1a2?b1b2?c1c2)+(a1b2+a2b1)i+(a1c2+a2c1)j+b1c2ij+b2c1jiz1z2=(a1a2?b1b2?c1c2)+(a1b2+a2b1)i+(a1c2+a2c1)j+b1c2ij+b2c1ji

我們會(huì)發(fā)現(xiàn),如果沒有ij和jiij和ji這兩項(xiàng),我們?nèi)S的復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)也就沒問題,那該如何處理呢?

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四元數(shù)旋轉(zhuǎn)

哈密爾頓引入四維的四元數(shù):q=q0+q1i+q2j+q3k,其中i2=j2=k2=?1q=q0+q1i+q2j+q3k,其中i2=j2=k2=?1,根據(jù)向量的叉乘可以定義下列一些關(guān)系:?
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可以得到下列關(guān)系:?

ij=?ji=kjk=?kj=iki=?ik=ji2=j2=k2=ijk=?1ij=?ji=kjk=?kj=iki=?ik=ji2=j2=k2=ijk=?1

為了方便理解,我們將四元數(shù)寫成向量的形式:q=[s,v??]q=[s,v→],我們可以理解為ss為實(shí)部,向量v??v→表示的就是三維空間,下面我們看一下四元數(shù)的乘法:?

qa=[sa,a??]qb=[sb,b??]qaqb=[sasb?a???b??,sab??+sba??+a??×b??]qa=[sa,a→]qb=[sb,b→]qaqb=[sasb?a→?b→,sab→+sba→+a→×b→]

由于我們研究的是三維空間,因此我們可以令qaqa為一個(gè)純四元數(shù),即qa=[0,a??]qa=[0,a→].則可以得到:

qaqb=[?a???b??,sba??+a??×b??]qaqb=[?a→?b→,sba→+a→×b→]

從上面可以看到,一個(gè)普通的四元數(shù)是無法將三維空間映射到三維空間的,我們令向量點(diǎn)乘的部分為零,此時(shí),一個(gè)純四元數(shù)就可以旋轉(zhuǎn)為另一個(gè)純四元數(shù).為了表現(xiàn)出旋轉(zhuǎn),這里我們用四元數(shù)的三角表示方式:qb=[cosθ,sinθb??]qb=[cosθ,sinθb→],令a???b??=0a→?b→=0,則有:?

qaqb=[0,a??cosθ+a??×b??sinθ]qaqb=[0,a→cosθ+a→×b→sinθ]

我們沒有對(duì)向量b??b→做任何限制,下面來用一個(gè)例子說明應(yīng)當(dāng)對(duì)向量b??b→做什么限制.?
令p=[0,2i],q=[2√2,2√2b??]p=[0,2i],q=[22,22b→],考慮到a???b??=0a→?b→=0,令b??=|b??|kb→=|b→|k,則將pp旋轉(zhuǎn)45°45°后得到:?

p′=qp=[0,2–√|b??|i+2–√|b??|j]p′=qp=[0,2|b→|i+2|b→|j]

旋轉(zhuǎn)之前,純四元數(shù)pp的模長(zhǎng)為|p|=2|p|=2,旋轉(zhuǎn)過后,純四元數(shù)p′p′的模長(zhǎng)|p′|=2|b??||p′|=2|b→|,所以我們要給旋轉(zhuǎn)四元數(shù)又加上一個(gè)約束:四元數(shù)qq的模長(zhǎng)為1,即qq是一個(gè)單位四元數(shù).

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但是上面的旋轉(zhuǎn)是有缺點(diǎn)的,因?yàn)槠湎拗屏宋覀兊男D(zhuǎn)軸和需要被旋轉(zhuǎn)的四元數(shù)必須是垂直的(a???b??=0a→?b→=0),而不能達(dá)到任意的旋轉(zhuǎn).這時(shí),聰明的哈密爾頓發(fā)現(xiàn),一個(gè)四元數(shù)會(huì)把一個(gè)純四元數(shù)拉到四維空間,但它的共軛又會(huì)把這個(gè)四維的空間拉回到三維空間.我們以一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來說明這個(gè)問題:?

p=[0,2i],q=[fracsqrt22,fracsqrt66(i+j+k)],則q?=[fracsqrt22,?fracsqrt66(i+j+k)]p=[0,2i],q=[fracsqrt22,fracsqrt66(i+j+k)],則q?=[fracsqrt22,?fracsqrt66(i+j+k)]

旋轉(zhuǎn)之后的四元數(shù)Rq(p)Rq(p):?

Rq(p)=[0,2j]Rq(p)=[0,2j]

這里需要注意的一點(diǎn)是,因?yàn)榻?jīng)過兩次的旋轉(zhuǎn),所以旋轉(zhuǎn)的角度是2θ2θ,這就是為什么我們常常看到的旋轉(zhuǎn)四元數(shù)是一下形式:?

q=cosθ2+u??sinθ2,其中|u??|=1

posted on 2018-08-15 17:06 時(shí)空觀察者9號(hào) 閱讀(...) 評(píng)論(...) 編輯 收藏

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總結(jié)

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