【概述】

字符串編輯距離，即 Levenshtein 距離，是俄國科學家 Vladimir Levenshtein 提出的概念，是指從一個字符串修改到另一個字符串時，編輯單個字符所需的最少次數，編輯單個字符允許的操作有：替換、插入、刪除。

Levenshtein 距離一般用來衡量兩個字符串的相似度，一般來說，兩個字符串的編輯距離越小，相似度越大。

舉例來說，從 "set" 改到 "sitting" 需要 5 次單字符編輯操作：

• e 修改為 i：sit
• 添加 t：sitt
• 添加 i：sitti
• 添加 n：sittin
• 添加 g：sitting

因此，set 與 sitting 的編輯距離為：3

【Levenshtein 算法】

Levenshtein 算法又稱編輯距離（Edit Distance）算法，用于求兩個長度分別為 n、m的字符串 a、b 的 Levenshtein 距離，其是一個線性動態規劃的算法，時空復雜度均為 O(nm)。

1. 狀態轉移方程

對于兩個字符串 a、b，其長度為 |a|、|b|，他們間的編輯距離定義為：

其中， 是指字符串 a 的前 i 個字符和字符串 b 的前 j 個字符的編輯距離。

在有了編輯距離后，字符串 a、b 的相似度定義為：

2.算法原理

對于 a、b 兩個字符串來說，我們先考慮極端的情況，即 a 或 b 的長度為 0 時，那么要編輯的次數就是另一個字符串的長度。

之后，我們考慮一般情況，在 k 個操作中有：

• 刪除操作：將 a[1],a[2],...,a[i-1] 轉換為 b[1],b[2],...,b[j]
• 插入操作：將 a[1],a[2],...,a[i] 轉換為 b[1],b[2],...,b[j-1]
• 替換操作：將 a[1],a[2],...,a[i-1] 轉換為 b[1],b[2],...,b[j-1]

對于刪除操作，只需將 a[i] 從 a 中移除，即可完成轉換，此時編輯次數為 k+1

對于插入操作，只需在 a[i] 后加上 b[j]，即可完成轉換，此時編輯次數為 k+1

對于替換操作，只需將 a[i] 轉換為 b[j]，即可完成轉換，需要注意的是，如果 a[i] 與 b[j] 相同，那么此時編輯次數為 k，如果 a[i] 與 b[j] 不同，那么此時編輯次數為 k+1

而為了保證將 a[1],a[2],...,a[i] 轉換為 b[1],b[2],...,b[j] 的操作次數是最少的，因此要在三種情況中取最小值，故而只需要按此邏輯進行迭代，保證每一步操作都是最小即可。

3.實例

我們以字符串 a：abroad 與字符串 b：aboard 為例，并在計算過程中將每一步的操作數放入 i+1 行 j+1 列的二維數組 dp 中，此時 dp[i][j] 即為將 a[1],a[2],...,a[i] 轉換為 b[1],b[2],...,b[j] 所需的最小操作數。

首先考慮極端情況，即 a 為空字符串或 b 為空字符串時，需要的操作此時為另一字符串的長度，即：dp[i][0]=i，dp[0][j]=j

之后我們考慮一般情況，從頭到尾遍歷這個二維數組，從第一行到最后一行，根據定義來計算 dp[i][j] 的值，即 dp[i][j] 的值由 dp[i][j] 的上方元素 dp[i-1][j]、左方元素 dp[i][j-1]、左上方元素 dp[i-1][j-1] 的值來計算得出

最后 dp[aLen][bLen] 即為字符串 a 轉換到 b 的 Levenshtein 距離。

如下圖，最終 "abroad" 與 "aboard" 的 Levenshtein 距離 ，相似度

4.實現

char a[N], b[N]; int dp[N][N]; int main() {scanf("%s%s", a, b);int aLen = strlen(a);int bLen = strlen(b);//極端情況for (int i = 1; i <= aLen; i++) //以i+1來考慮第i個字符的情況dp[i][0] = i;for (int j = 1; j <= bLen; j++) //以j+1來考慮第j個字符的情況dp[j][0] = j;for (int i = 1; i <= aLen; i++) { //以i+1來考慮第i個字符的情況for (int j = 1; j <= bLen; j++) { //以j+1來考慮第j個字符的情況if (a[i - 1] == b[j - 1]) //相同時距離不變dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];else //不同時取三個位置的最小值再+1dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1],min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])) + 1;}}printf("%d\n", dp[aLen][bLen]);return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划 —— 线性 DP —— 字符串编辑距离的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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