【問題】

有N件物品和一個容量為V的背包。第i件物品的體積w[i]，價值是c[i]。這些物品被劃分為若干組，每組中的物品互相沖突，最多選一件。

求：將哪些物品裝入背包可使這些物品的費用總和不超過背包容量，且價值總和最大。

【算法】

這個問題變成了每組物品有若干種策略：是選擇本組的某一件，還是一件都不選。

設f[k][v]表示前k組物品花費費用v能取得的最大權值，則有：f[k][v]=max{f[k-1][v],f[k-1][v-w[i]]+c[i] | 物品i屬于第k組}

使用一維數組的偽代碼如下：

for 所有的組kfor v=V..0for 所有的i屬于組kf[v]=max{f[v],f[v-w[i]]+c[i]}

注意這里的三層循環的順序，“for v=V..0”這一層循環必須在“for 所有的i屬于組k”之外。這樣才能保證每一組內的物品最多只有一個會被添加到背包中。

另外，可以對每組內的物品應用P02中“一個簡單有效的優化”。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划 —— 背包问题 P06 —— 分组背包的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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