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ybt 1229：電池的壽命
OpenJudge NOI 4.6 2469:電池的壽命

【題目考點】

1. 貪心

【解題思路】

1. 貪心選擇性質的證明

電池分配主要有兩步，
第一步：將電池分為兩組，使兩組電池的總使用時長的差值盡可能小。
第二步：如果總時長更長的分組中有多于1個電池，那么取出這一組中的一些電池運行游戲機，消耗其中一些電池的電量，使得兩組電池的使用時長相等。
第三步：兩組電池分別裝在游戲機的兩個電池位置上，運行游戲機。

已知有n個電池，將其電池分為兩組，第1組時長加和為$a$，第2組時長加和為$b$。
不失一般性，假設最后第1組使用時長大于等于第二組，即$a\ge b$。其差值$d=a?b$。
定義消耗操作：在某一組電池中取出一對電池使用，游戲機運行$\frac{m}{2}$時長，共消耗電池使用時長$m$。

貪心選擇：按使用時長從大到小選擇電池，將其加入電池使用時長加和更小的分組中。
在所有電池都分配結束后

如果使用時長更長的第1組中只有1個電池，其它所有電池都在第2組。那么這也就是最優的方案了，此時游戲機可以運行的時長為$b$，即為電池中除了使用時長最長的電池，其余電池使用時長的加和。

只要第1組中的電池數量大于1，那么一定可以通過1次消耗操作讓第1組的電池消耗掉使用時長$d$，進而讓兩組電池的使用時長加和相同。
證明：

在第1組最后一節電池加入時，一定是第1組的使用時長加和$a_1$小于等于第2組的加和$b_1$，即$a_1\le b_1$。而后第1組加入最后一節電池，其時長為$a_e$，此時第1組電池使用時長$a=a_1+a_e$，其后第2組加入了0節或多節電池，這些電池的總時長為$b_e$，最后第2組電池的使用時長$b=b_1+b_e$
那么兩組電池使用時長的差值$d=a?b=a_1+a_e?b_1?b_e=a_e?(b_1?a_1)?b_e$，由于$b_1?a_1\ge 0$且$b_e\ge 0$，所以$d\le a_e$。
由于第1組中不只有1節電池，根據貪心選擇，其中已經存在的電池的時長一定大于等于后面加入的電池的時長。所以第1組中除了最后一節電池，一定存在時長為$a_m$的某電池滿足$a_m\ge a_e$，取出這兩節電池放入游戲機中運行，運行時長$\frac{d}{2}$，共消耗時長$d$。由于$\frac{d}{2}\le d\le a_e\le a_m$，所以一定可以做到運行這么久。
此時第1組電池的剩余總運行時長為$a?d=b$，與第2組電池的總運行時長相同。分別取第1組和第2組的電池放在游戲機的兩個電池空位上，運行游戲機，還可以運行$b$時長。

這種方案下，電池電量沒有一點浪費，游戲機可以運行的總時長為所有電池可以使用的總時長除以2。

2. 具體做法

將輸入的數據存入數組，求其中的最大值及所有數的總和。總和減最大值為剩余數字和。
如果最大值大于等于剩余數字和，那么結果為剩余數字和。否則，輸出總和除以2。

【題解代碼】

解法1：貪心

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 1005 int main() {double a, ans;int n;while(cin >> n){double mx = 0, sum = 0;for(int i = 1; i <= n; ++i){cin >> a;mx = max(mx, a);sum += a;}if(sum - mx < mx)ans = sum - mx;elseans = sum / 2;cout << fixed << setprecision(1) << ans << endl;} return 0; }

總結

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