1. ?函數 $f$ 在 $\infty$ 沒有定義, 所以 $\infty$ 必為 $f$ 的奇點. 若 $$\bex \exists\ r>0,\ st. ?f\mbox{ 在 }|z|>r\mbox{ 內解析}, \eex$$ 則稱 $\infty$ 為 $f$ 的孤立奇點.

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(1) ?例: $f(z)=z$, $f(z)=\cfrac{1}{e^z-1}$.

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(2) ?作變換 $\zeta=\cfrac{1}{z}$, 并記 $$\bex \phi(\zeta)=f\sex{\cfrac{1}{\zeta}}=f(z), \eex$$ 則 $0$ 為 $\phi$ 的孤立奇點: $$\bex \phi'(\zeta)=f'\sex{\cfrac{1}{\zeta}}\cdot \cfrac{-1}{\zeta^2},\quad \zeta\neq 0. ?\eex$$

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(3) ?$$\beex \ba{lll} \mbox{ 若:}&0&\mbox{ 為 }\phi\mbox{ 的可去奇點、}m\mbox{ 階極點、本質奇點},\\ \mbox{ 則稱:}&\infty&\mbox{ 為 }\phi\mbox{ 的可去奇點、}m\mbox{ 階極點、本質奇點}. \ea \eeex$$

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2. ?三類奇點的刻畫

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(1) ?設 $\infty$ 為 $f$ 的孤立奇點, 則 $$\beex \ba{rllllll} &&\mbox{主要部分}&&&&\mbox{正則部分}\\ f(z)=f\sex{\cfrac{1}{\zeta}} =\phi(\zeta)&=&\dps{\sum_{n=-\infty}^{-1}c_n\zeta^n}&+& \underline{c_0}&+& \underline{\dps{\sum_{n=1\infty}c_n\zeta^n}},\quad |\zeta|<\cfrac{1}{r},\\ f(z)&=&\underline{\dps{\sum_{n=1}^\infty c_{-n}z^n}}&+&\underline{c_0} &+&\dps{\sum_{n=-\infty}^{-1} c_{-n}z^n},\quad |z|>r. ?\ea \eeex$$

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(2) ?可去奇點 $$\bex \ba{ccccc} f\mbox{ 在 }\infty\mbox{ 的一個去心鄰域內有界}&\lra&\infty\mbox{ 為 }f\mbox{ 的可去奇點}&\lra&f\mbox{ 的主要部分為 }0\\ &&\Updownarrow&&\\ &&\lim_{z\to \infty}f(z)\mbox{ 存在}&& \ea \eex$$ 例: $f(z)=\cfrac{1}{z}$, $f(z)=\cfrac{1}{(z-1)(z-2)}$.

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(3) ?極點 $$\bex \ba{ccccc} &&\lim_{z\to \infty}f(z)=\infty &&\\ &&\Updownarrow&&\\ g(z)=\cfrac{1}{f(z)}\mbox{ 以 }\infty \mbox{ 為 }m\mbox{ 階零點} &\lra& f\mbox{ 以 }a\mbox{ 為 }m\mbox{ 階極點}&\lra& f\mbox{ 的主要部分為 }0\\ &&\Updownarrow&&\\ &&f(z)=z^m\mu(z),\ \mu(\infty)\neq 0&& \ea \eex$$ 例: $f(z)=\cfrac{z^2}{z-1}$.

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(4) ?本質奇點 $$\bex \infty\mbox{ 為 }f\mbox{ 的本質奇點}\lra \lim_{z\to \infty}f(z)\mbox{ 不存在}. \eex$$ 例: $f(z)=e^z$.

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3. ?例

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(1) ?考察 $f(z)=\cfrac{\tan(z-1)}{z-1}$ 的奇點及其類型.

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(2) ?考察 $f(z)=\cfrac{1}{\sin z+\cos z}$ 的奇點及其類型.

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(3) ?考察 $f(z)=\cos\cfrac{1}{z+i}$ 的奇點及其類型.

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作業: P 213-214 T 4 (1) ?(7) ?(8) .?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[复变函数]第19堂课 5.3 解析函数在无穷远处的性质的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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