設 $[a,b]$ 是閉區間,并設
\begin{align*}
? \phi:[a,b]\to [\phi(a),\phi(b)]
\end{align*}
是可微的單調增函數,而且 $\phi'$ 是黎曼可積的.設$f:[\phi(a),\phi(b)]\to\mathbf{R}$ 是在 $[\phi(a),\phi(b)]$ 上黎曼可積的函數.那么 $(f\circ \phi)\phi':[a,b]\to\mathbf{R}$ 是 $[a,b]$ 上的黎曼可積函數,而且
\begin{align*}
? \int_{[a,b]}(f\circ \phi)\phi'=\int_{[\phi(a),\phi(b)]}f.
\end{align*}


證明: 由于 $\phi$ 是 $[a,b]$ 上的連續的單調增函數,$f$ 是$[\phi(a),\phi(b)]$ 上的黎曼可積函數,因此 $f\circ\phi$ 是 $[a,b]$上的黎曼可積函數(為什么?).再加上 $\phi'$ 是 $[a,b]$ 上的黎曼可積函數,因此 $(f\circ \phi)\phi'$ 是 $[a,b]$ 上的黎曼可積函數(為什么?).


由于
? \begin{align*}\int_{[\phi(a),\phi(b)]}f=\int_{[a,b]}f\circ \phi d\phi.\end{align*}
? (為什么?)因此我們只用證明
? \begin{equation}\label{eq:1}\int_{[a,b]}(f\circ \phi)\phi'=\int_{[a,b]}f\circ \phi d\phi\end{equation}
? 當 $f$ 是逐段常值函數的時候, $f\circ \phi$ 也是逐段常值的,此時式\ref{eq:1} 顯然成立(為什么?提示:由于逐段常值,因此可以把 $f\circ\phi$ 逐段提取出來,然后再用微積分第二基本定理).然后再用逐段常值函數逼近一般的黎曼可積函數 $f\circ\phi$,可得 \ref{eq:1} 成立(為什么?注意此時 $\phi$ 單調遞增這個條件是有作用的,它保證 $\phi'$ 的非負性).

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總結

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