問題描述：

有一個由非負(fù)整數(shù)組成的三角形，第一行只有一個數(shù)，除了最下行之外每個數(shù)的左下方和右下方各有一個數(shù)。

? ?從第一行的數(shù)開始，每次可以往左下或右下走一格，直到走到最下行，把沿途經(jīng)過的數(shù)全部加起來。如何走才能使得這個和盡量大？

如下圖：

? ? ? ? ? ? ?1

? ? ? ? ? 3 ? 2

? ? ? ?4 ?10 ?1

? ? 4 ? 3 ? 2 ? 20

思考：把當(dāng)前的位置（i，j)看成一個狀態(tài)，然后定義狀態(tài)（i,j）的指示函數(shù)d(i,j)為從格子(i,j)出發(fā)時能得到的最大和(包括格子(i,j)本身的值）。在這個狀態(tài)定義下，原問題的解釋d(1,1)。

狀態(tài)狀態(tài)轉(zhuǎn)移：從格子(i,j)出發(fā)有兩種決策。如果往左走，則走到(i+1,j)后需要求”從(i+1,j)出發(fā)后能得到的最大和”這一問題，即d(i+1,j)。類似的，往右走之后需要求解d(i+1,j+1)。

所以狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程就是d(i,j)=max{d(i+1,j)，d(i+1,j+1)}+a(i,j);

方法一：遞推計算 （時間復(fù)雜度為O(n^2))

int i,j; for(i=1; i<=n; ++i) //下標(biāo)從1開始 d[n][i]=a[n][i]; for(i=n-1; i>=1; --i){for(j=1; j<=i; ++j)d[i][j]=a[i][j]+max(d[i+1][j],d[i+1][j+1]); }
因為i是枚舉的，因此在計算 d[i][j] 前，它所需要的d[i+1][j]和d[i+1][j+1]一定已經(jīng)計算出來了

方法二：記憶化搜索(時間復(fù)雜度O(n^2) ?首先memset(d,-1,sizeof(d)) ?將d全部初始化為-1

int solve(int i, int j){if(d[i][j]>0) return d[i][j];return d[i][j] = a[i][j] + ( i==n ? 0 : max(solve(i+1, j), solve(i+1, j+1) ) ); }
題目中各個數(shù)都是非負(fù)的，這樣只需要把d初始化為-1，即可通過判斷是否d[i][j]>=0得知它是否已經(jīng)被計算過。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数字三角形问题 (动态规划初步)的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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