柱面及其方程

學習李建平教授空間解析幾何

• 柱面的定義

• 柱面方程及其特點

  • 準線位于坐標面母線平行于坐標軸的柱面方程及特點

  • 常見柱面

  • 一般柱面方程

• 柱面的參數方程

• 例1

• 例2

• 參考資料

回顧:圓柱面

圓柱面可以視為到一定直線的距離等于常數的動點的軌跡.

定直線取為軸

圓柱面也可以視為動直線繞一條平行的定直線旋轉所得的旋轉曲面．

圓柱面也可以視為動直線在圓周C上平行移動得到的曲面．

圖一

柱面的定義

在空間中，由平行于定方向且與一條定曲線相交的一族平行直線所構成的曲面叫做柱面.

直觀地，柱面就是由一條平行于直線? 的直線沿曲線? 連續平移而形成的平行直線族.

• 動直線? 叫做柱面的直母線,
• 定曲線? 叫做柱面的準線.

平行于動直線的方向? 叫做直母線方向

圖二

【注1】柱面的準線是不唯一的．

與每一條母線都相交的曲線都可以作為柱面的準線.

【注2】柱面也可看成是由準線沿著平行于母線的直線平移而形成的曲面.

【注3】平面也是柱面.

可以看成是一條直線沿著另一條與之相交的共面直線移動而成.

柱面方程及其特點

引例 ? 方程? 在? 空間表示圓柱面? ?,但在? 平面表示圓周? .

方程特點:方程中不含變量? .

幾何特點(圖一):

• 柱面S上點? 在? 平面上的投影點? 在曲線? 上.
• 柱面的母線平行于z軸，準線為? ?平面上的曲線? .

一般地，方程 ? 在? 空間表示柱面? ?,但在? 平面表示曲線? .

方程特點:方程中不含變量? .

幾何特點(圖三):

• 柱面S上點? 在? 平面上的投影點? 在曲線? 上.
• 柱面的母線平行于z軸，準線為? ?平面上的曲線? .

圖三

準線位于坐標面母線平行于坐標軸的柱面方程及特點

(1)方程表示柱面．母線平行于軸，準線為? 平面上的曲線

(2)方程? 表示柱面．母線平行于x軸，準線為? 平面上的曲線

(3)方程表示柱面．母線平行于軸，準線為 平面上的曲線(圖4)

圖4

常見柱面

圖5

一般柱面方程

已知準線和母線方向? ，求柱面? 的方程．

圖6

在柱面S上取動點? ，作平行于母線方向v的直線交準線C于點 。則

消去參數 ? 得柱面的一般方程

柱面的參數方程

已知準線? ,和母線方向? 的柱面S的方程．(圖6)

在柱面S上取動點? ，作平行于母線方向v的直線交準線C于點? .

則柱面的參數方程為

例1

求準線為? 平面上的橢圓? .母線平行于 直線的柱面方程﹒

**【解法1】**準線的參數方程為 ?.

在柱面S上取動點 ? ，作平行于母線方向? 的直線交準線C于點? .

則柱面的參數方程為?

消去參數? 得柱面的一般方程?

【解法2】 準線的一般方程為?

在柱面S上取動點? ，作平行于母線的直線? 交準線于點? ﹒則

整理得柱面的一般方程

例2

方程?＋ 表示柱面?

【解】要說明曲面為柱面，只要說明它是由一族平行直線產生的.

作直線族? ,即? .

它們的方向向量均為? ，故它們是位于上的平行直線族.所以，曲面是柱面．

因母線交? 平面于點? ，這些點形成的軌跡為柱面的準線? ．柱面的母線方向為 .

注 :柱面? 的圖形 ,它是一個雙曲柱面 .

注 :曲線?也可以作為柱面S的準線 .

參考資料

[1] 宋衛東 . 《解析幾何》，高等教育出版社.

[2] 丘維聲編. 《解析幾何》. 北京大學出版社.

[2] 呂林根，許子道等編. 《解析幾何》. 高等教育出版社.

[3] 呂林根. 《解析幾何學習輔導書》. 高等教育出版社.

[4] 謝敬然，柯媛元. 空間解析幾何，高等教育出版社

[5] 周建偉 解析幾何，高等教育出版社

總結

以上是生活随笔為你收集整理的参考平面及其高度_柱面及其方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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