不同插值方法的比較

• 1.多項式插值
• 2.分段插值

1.多項式插值

多項式插值：以一個多項式的形式來刻畫經過一系列點的曲線。

拉格朗日插值：簡單易用，即每增加一個新的插值點時，整個基函數就需要重新構建，這大大增加了運算量。為此，我們需要尋找一種新的基函數，其能夠在節點增加時，只需要在原有的基函數上增加一些新的基函數即可，而無需對原始的基函數進行重構。
牛頓插值：也是n次多項式插值，是構造插值多項式的另一種方法，它具有繼承性和易變化節點的特點。該基函數的一個優點是當增加一個新的插值節點 時，只需在原有基函數的基礎上增加一個新的函數即可。

龍格現象：
在一組等間距插值點上使用具有高次多項式進行插值時出現的區間邊緣處震蕩問題。
隨著節點數逐漸在增加，插值精度不斷提升，但插值曲線也開始在邊緣處變得不夠穩定。

2.分段插值

為了避免高次插值多項式的缺陷，得到 較好的近似式, 一般采用分段插值法，即把插值區間 分為若干個子區間，在每個子區間上構造低次插值多項式.

常見的分段插值主要有分段線性插值，三次Hermite插值以及三次樣條插值。
分段線性插值：
分段線性插值利用每兩個相鄰的插值基點組線性插值。
分段低次插值有效地避免了龍格現象, 同時其截斷誤差也得到了有效的控制, 總體是比較穩定的。
但其缺點在于插值條件僅限定函數值在節點處相等，這僅能保證插值函數的連續性, 總體的光滑性不高，若需要得到光滑性更好的插值函數, 我們需要對函數的導數進行約束。
三次Hermite插值：
三次樣條插值：用分段插值方法繪制通過節點的曲線，龍格現象消失。
分段插值時，節點的選擇對插值結果會有顯著的影響。

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總結

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