最優頻帶分配問題

設兩個發送器分別具有$P_1$，$P_2$的功率，分別使用兩個不相交的頻帶帶寬 $W_1$，$W_2$,，其中 $W_1+W_2=W$（總帶寬），試計算最優頻帶分配方案，并畫出該信道的容量區域，進一步討論頻分多址（frequency-division multiplexing）系統的最優頻帶分配方案。


最優頻帶分配問題解決方案

利用單用戶的帶寬有限信道的容量公式，下面的碼率是可達的。
$\begin{array}{l}{R}_1\le W_1\log (1+\frac{P_1}{N{W}_1})(1)\\ R_2\le W_2\log (1+\frac{P_2}{N{W}_2})(2)\end{array}$
滿足條件
$\begin{array}{l}{W}_1+W_2=W=const\\ P_1+P_2=P=const\end{array}$
則
$R_1+R_2\le W_1\log (1+\frac{P_1}{N{W}_1})+W_2\log (1+\frac{P_2}{N{W}_2})(?)$
下面證明上面（*）式右邊的碼率可達，并給出等號成立的條件。
首先從物理直觀上來看，由于$R_1$和$R_2$分別滿足（1）式和（2）式，這兩個不等式的右邊分別是它們的理論可達碼率，因此它們的加和一定小于各自的理論可達碼率的加和。

但是，這只是直觀上比較粗糙的理解，那么更嚴謹的問題在于： $R_1$和$R_2$的理論可達碼率是不是就是各自的理論可達碼率的加和呢？換句話說，它們的最大值能不能同時取到？如果可以，那么什么時候同時取到，等號成立的條件是什么？

畫出信道容量區域示意圖，大致的趨勢是實際的信道容量（曲線部分）小于等于理論最大值（折線部分），與橫坐標的交點表示信道的全部功率用來傳輸用戶1的信息（ $R_2=0$），與縱坐標的交點表示信道的全部功率用來傳輸用戶2的信息（ $R_1=0$），在這兩個點處顯然曲線部分與折線部分的取值相等。
命題轉化為證明：當 $R_1$>0且 $R_2$>0時，實際的信道容量（曲線部分）與理論最大值（折線部分）有且只有一個交點，且該交點對應的頻帶分配方案為
$W_1=\frac{P_1}{P_1+P_2}W,W_2=\frac{P_2}{P_1+P_2}W(4)$
首先證明存在性，即：當 $R_1$和$R_2$ 滿足（4）式時，（3）式等號成立。
$\begin{array}{l}{R}_{1\max }=W_1\log (1+\frac{P_1}{N{W}_1})=\frac{P_1}{P_1+P_2}W\log (1+\frac{P_1}{N\frac{P_1}{P_1+P_2}W})=\frac{P_1}{P_1+P_2}W\log (1+\frac{P_1+P_2}{NW})\\ R_{2\max }=W_2\log (1+\frac{P_2}{N{W}_2})=\frac{P_2}{P_1+P_2}W\log (1+\frac{P_2}{N\frac{P_2}{P_1+P_2}W})=\frac{P_2}{P_1+P_2}W\log (1+\frac{P_1+P_2}{NW})\\ (R_1+R_2{)}_{\max }=R_{1\max }+R_{2\max }=W\log (1+\frac{P_1+P_2}{NW})\end{array}$
再證明唯一性，即：實際的信道容量（曲線部分）與理論最大值（折線部分）有交點，而且只能有一個。
觀察碼率表達式
$\begin{array}{l}{R}_1\le W_1\log (1+\frac{P_1}{N{W}_1})\\ R_2\le W_2\log (1+\frac{P_2}{N{W}_2})\end{array}$
$R_1+R_2$的理論最大值可以寫成
$R_1+R_2\le W_1\log (1+\frac{P_1}{N{W}_1})+(W?W_1)\log (1+\frac{P?P_1}{N(W?W_1)})$
實際上，不等式右邊的理論可達碼率為凹函數，證明如下：
$\begin{array}{l}設\frac{P_i}{N}=k_i>0,構造f(x_i)=x_i\log (1+\frac{k_i}{x_i})\\ f^{\prime }(x_i)=\log (1+\frac{k_i}{x_i})+x_i?(?\frac{k_i}{{x_i}^2})\frac{1}{1+\frac{k_i}{x_i}}=\log (1+\frac{k_i}{x_i})?\frac{k_i}{x_i+k_i}\\ f^{\prime \prime }(x_i)=\frac{1}{1+\frac{k_i}{x_i}}?(?\frac{k_i}{{x_i}^2})+\frac{k_i}{{(x_i+k_i)}^2}=k_i(\frac{1}{{x_i}^2+k_i{x}_i+k_i{x}_i+{k_i}^2}?\frac{1}{{x_i}^2+k_i{x}_i})<0\\ \therefore f\left(x\right)為凹函數。\end{array}$
$\begin{array}{l}令g(x)=(x_0?x)log(1+\frac{k_i}{x_0?x}),其中0<x<x_0\\ g^{\prime }(x)=?log(1+\frac{k_i}{x_0?x})+(x_0?x)\frac{1}{1+\frac{k_i}{x_0?x}}?\frac{k_i}{{(x_0?x)}^2}\\ =?log(1+\frac{k_i}{x_0?x})+\frac{k_i}{x_0?x+k_i}\\ g^{\prime \prime }(x)=?\frac{k_i}{{(x_0?x)}^2}?\frac{1}{1+\frac{k_i}{x_0?x}}+\frac{k_i}{{(x_0?x+k_i)}^2}\\ =k_i[?\frac{1}{{(x_0?x)}^2+k_i(x_0?x)}+\frac{1}{{(x_0?x+k_i)}^2}]\\ =k_i\frac{?{(x_0?x+k_i)}^2+{(x_0?x)}^2+k_i(x_0?x)}{[{(x_0?x)}^2+k_i(x_0?x)]{(x_0?x+k_i)}^2}\\ =?{k_i}^2\frac{k_i+(x_0?x)}{[{(x_0?x)}^2+k_i(x_0?x)]{(x_0?x+k_i)}^2}<0\\ 因此g(x)=(x_0?x)log(1+\frac{k_i}{x_0?x})仍為凹函數。\end{array}$
凹函數滿足
$f[\lambda x_1+(1?\lambda )x_2]\ge \lambda f(x_1)+(1?\lambda )f(x_2),?x_1,x_2\in I,0\le \lambda \le 1$
$g[\mu x_1+(1?\mu )x_2]\ge \mu g(x_1)+(1?\mu )g(x_2),?x_1,x_2\in I,0\le \mu \le 1$
由凹函數圖像特點可知實際的信道容量（曲線部分）與理論最大值（折線部分）有交點，而且只能有一個，唯一性得證。
由上述的推導可以得出結論：對于若干個電臺，只有當所有分配的帶寬與對應的功率成正比時，對應的頻帶分配方案是最優的。某子信道對應的功率越大，那么它分到的帶寬也越大，便于傳輸更多的信息。
對于FDMA系統，可以得出類似的結論。前面構造的 $f(x_i)$可以推廣到n維，對應頻分多址的路數。
一般地，可以推廣為：對于m個具有功率為 $P_1,P_2,P_3,...,P_m$的信源以及功率N的環境噪聲的高斯多接入系統，任何集合S對高斯公式平移為下列形式：
$\sum _{i\in S}{R}_i=S\le C(\frac{\sum _{i\in S}{P}_i}{N})$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的最优频带分配方案的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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