無論在機器學習還是深度領域中,損失函數都是一個非常重要的知識點。損失函數（Loss Function）是用來估量模型的預測值 f(x) 與真實值 y 的不一致程度。我們的目標就是最小化損失函數，讓 f(x) 與 y 盡量接近。通常可以使用梯度下降算法尋找函數最小值。

關于梯度下降最直白的解釋可以看我的這篇文章：

簡單的梯度下降算法，你真的懂了嗎？

損失函數有許多不同的類型，沒有哪種損失函數適合所有的問題，需根據具體模型和問題進行選擇。一般來說，損失函數大致可以分成兩類：回歸（Regression）和分類（Classification）。今天，紅色石頭將要總結回歸問題中常用的 3 種損失函數，希望對你有所幫助。

回歸模型中的三種損失函數包括：均方誤差（Mean Square Error）、平均絕對誤差（Mean Absolute Error，MAE）、Huber Loss。

1. 均方誤差（Mean Square Error，MSE）

均方誤差指的就是模型預測值 f(x) 與樣本真實值 y 之間距離平方的平均值。其公式如下所示：

其中，yi 和 f(xi) 分別表示第 i 個樣本的真實值和預測值，m 為樣本個數。

為了簡化討論，忽略下標 i，m = 1，以 y-f(x) 為橫坐標，MSE 為縱坐標，繪制其損失函數的圖形：

MSE 曲線的特點是光滑連續、可導，便于使用梯度下降算法，是比較常用的一種損失函數。而且，MSE 隨著誤差的減小，梯度也在減小，這有利于函數的收斂，即使固定學習因子，函數也能較快取得最小值。

平方誤差有個特性，就是當?yi 與 f(xi) 的差值大于 1 時，會增大其誤差；當?yi 與 f(xi) 的差值小于 1 時，會減小其誤差。這是由平方的特性決定的。也就是說， MSE 會對誤差較大（>1）的情況給予更大的懲罰，對誤差較小（<1）的情況給予更小的懲罰。從訓練的角度來看，模型會更加偏向于懲罰較大的點，賦予其更大的權重。

如果樣本中存在離群點，MSE 會給離群點賦予更高的權重，但是卻是以犧牲其他正常數據點的預測效果為代價，這最終會降低模型的整體性能。我們來看一下使用 MSE?解決含有離群點的回歸模型。

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.linspace(1, 20, 40) y = x + [np.random.choice(4) for _ in range(40)] y[-5:] -= 8 X = np.vstack((np.ones_like(x),x)) ? ?# 引入常數項 1 m = X.shape[1] # 參數初始化 W = np.zeros((1,2))# 迭代訓練 num_iter = 20 lr = 0.01 J = [] for i in range(num_iter):y_pred = W.dot(X)loss = 1/(2*m) * np.sum((y-y_pred)**2)J.append(loss)W = W + lr * 1/m * (y-y_pred).dot(X.T)# 作圖 y1 = W[0,0] + W[0,1]*1 y2 = W[0,0] + W[0,1]*20 plt.scatter(x, y) plt.plot([1,20],[y1,y2]) plt.show()

擬合結果如下圖所示：

可見，使用 MSE 損失函數，受離群點的影響較大，雖然樣本中只有 5 個離群點，但是擬合的直線還是比較偏向于離群點。這往往是我們不希望看到的。

2.?平均絕對誤差（Mean Absolute Error，MAE）

平均絕對誤差指的就是模型預測值 f(x) 與樣本真實值 y 之間距離的平均值。其公式如下所示：

為了簡化討論，忽略下標 i，m = 1，以 y-f(x) 為橫坐標，MAE 為縱坐標，繪制其損失函數的圖形：

直觀上來看，MAE 的曲線呈 V 字型，連續但在 y-f(x)=0 處不可導，計算機求解導數比較困難。而且 MAE 大部分情況下梯度都是相等的，這意味著即使對于小的損失值，其梯度也是大的。這不利于函數的收斂和模型的學習。

值得一提的是，MAE 相比 MSE 有個優點就是 MAE 對離群點不那么敏感，更有包容性。因為 MAE 計算的是誤差?y-f(x) 的絕對值，無論是?y-f(x)>1 還是?y-f(x)<1，沒有平方項的作用，懲罰力度都是一樣的，所占權重一樣。針對 MSE 中的例子，我們來使用 MAE 進行求解，看下擬合直線有什么不同。

X = np.vstack((np.ones_like(x),x)) ? ?# 引入常數項 1 m = X.shape[1] # 參數初始化 W = np.zeros((1,2))# 迭代訓練 num_iter = 20 lr = 0.01 J = [] for i in range(num_iter):y_pred = W.dot(X)loss = 1/m * np.sum(np.abs(y-y_pred))J.append(loss)mask = (y-y_pred).copy()mask[y-y_pred > 0] = 1mask[mask <= 0] = -1W = W + lr * 1/m * mask.dot(X.T)# 作圖 y1 = W[0,0] + W[0,1]*1 y2 = W[0,0] + W[0,1]*20 plt.scatter(x, y) plt.plot([1,20],[y1,y2],'r--') plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.title('MAE') plt.show()

注意上述代碼中對 MAE 計算梯度的部分。

擬合結果如下圖所示：

顯然，使用 MAE 損失函數，受離群點的影響較小，擬合直線能夠較好地表征正常數據的分布情況。這一點，MAE 要優于 MSE。二者的對比圖如下：

選擇 MSE 還是 MAE 呢？

實際應用中，我們應該選擇 MSE 還是 MAE 呢？從計算機求解梯度的復雜度來說，MSE 要優于 MAE，而且梯度也是動態變化的，能較快準確達到收斂。但是從離群點角度來看，如果離群點是實際數據或重要數據，而且是應該被檢測到的異常值，那么我們應該使用MSE。另一方面，離群點僅僅代表數據損壞或者錯誤采樣，無須給予過多關注，那么我們應該選擇MAE作為損失。

3.?Huber Loss

既然 MSE 和 MAE 各有優點和缺點，那么有沒有一種激活函數能同時消除二者的缺點，集合二者的優點呢？答案是有的。Huber Loss 就具備這樣的優點，其公式如下：

Huber Loss 是對二者的綜合，包含了一個超參數 δ。δ 值的大小決定了 Huber Loss 對 MSE 和 MAE 的側重性，當 |y?f(x)| ≤?δ?時，變為 MSE；當 |y?f(x)| >?δ?時，則變成類似于 MAE，因此 Huber Loss 同時具備了 MSE 和 MAE 的優點，減小了對離群點的敏感度問題，實現了處處可導的功能。

通常來說，超參數?δ 可以通過交叉驗證選取最佳值。下面，分別取?δ = 0.1、δ = 10，繪制相應的 Huber Loss，如下圖所示：

Huber Loss 在?|y?f(x)| >?δ?時，梯度一直近似為 δ，能夠保證模型以一個較快的速度更新參數。當?|y?f(x)| ≤?δ?時，梯度逐漸減小，能夠保證模型更精確地得到全局最優值。因此，Huber Loss 同時具備了前兩種損失函數的優點。

下面，我們用 Huber Loss 來解決同樣的例子。

X = np.vstack((np.ones_like(x),x)) ? ?# 引入常數項 1 m = X.shape[1] # 參數初始化 W = np.zeros((1,2))# 迭代訓練 num_iter = 20 lr = 0.01 delta = 2 J = [] for i in range(num_iter):y_pred = W.dot(X)loss = 1/m * np.sum(np.abs(y-y_pred))J.append(loss)mask = (y-y_pred).copy()mask[y-y_pred > delta] = deltamask[mask < -delta] = -deltaW = W + lr * 1/m * mask.dot(X.T)# 作圖 y1 = W[0,0] + W[0,1]*1 y2 = W[0,0] + W[0,1]*20 plt.scatter(x, y) plt.plot([1,20],[y1,y2],'r--') plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.title('MAE') plt.show()

注意上述代碼中對 Huber Loss 計算梯度的部分。

擬合結果如下圖所示：

可見，使用 Huber Loss 作為激活函數，對離群點仍然有很好的抗干擾性，這一點比 MSE 強。另外，我們把這三種損失函數對應的 Loss 隨著迭代次數變化的趨勢繪制出來：

MSE：

MAE：

Huber Loss：

對比發現，MSE 的 Loss 下降得最快，MAE 的 Loss 下降得最慢，Huber Loss 下降速度介于 MSE 和 MAE 之間。也就是說，Huber Loss 彌補了此例中 MAE 的 Loss 下降速度慢的問題，使得優化速度接近 MSE。

最后，我們把以上介紹的回歸問題中的三種損失函數全部繪制在一張圖上。

好了，以上就是紅色石頭對回歸問題 3 種常用的損失函數包括：MSE、MAE、Huber Loss 的簡單介紹和詳細對比。這些簡單的知識點你是否已經完全掌握了呢？

參考文獻：

http://www.10tiao.com/html/782/201806/2247495489/1.html

https://www.cnblogs.com/massquantity/p/8964029.html

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的机器学习大牛是如何选择回归损失函数的？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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