1.前言

信號分解或信號變換的基本思路是將信號x(t)和一組函數（或向量）做內積，從而得到一組分解系數an。 分解（或變換）的目的是研究原始信號中有哪些有喲用的信息，并討論如何抽取這些有用的信息。我能能夠理解，正交基具有很多優點（信息不冗余，對偶基是本身），實際應用中也是最廣泛的，可惜的是，在實際工作中，發現并得到一組好的正交基往往是不容易的。 正式正交基，或者更廣泛地說，分解對研究信號具有很重要的意義，我們不僅反問自: 1.用于分解的一組函數如何構成拍一組正交基？ 2.用于分解的一組函數如何構成一組基呢？ 3.如果不能構成一組基，既是線性相關的，那么在什么條件下可保證對信號的分解是完備的，并且可以穩定地實現信號的重建？ 標價理論要解決的恰恰是最后一個問題。

2.基本定義

2.1 標架

設是Hilbert空間H中的一組向量，對任一信號x∈H，如果存在常數A、B，c<A≤B<∞。并使下式成立：
則稱構成一個標架。顯然，標架是Hilbert空間中的一組向量。

2.2 對偶標架

設是Hilbert空間中的一個標架，定義標架算子S為： ?

下面的結論可以證明：

• 也是一個標架，標架的邊界為 ，它稱為的對偶標架；
  
• Hilbert空間的任一信號x都可表示為形式：
  

• 如果A＝B，則稱構成了一個“緊（tight）標架”。這時滿足：

2.3 緊標架

如果構成一緊標架，且A＝1，則是一正交基。
根據基函數及對偶函數關于原始信號重建原則，有下式：
這里需要注意的是，雙正交情況下滿足關系：。 通過上式，即可證明正交變換必為緊標架。基向量具備線性相關時，標架在Hibert空間依然能夠做到信號分解，并滿足“完備性”，當然信息冗余無法避免。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的信号分解：标架、对偶标架、紧标架的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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